Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16991 / 18143
↖ ↑ ↗
← S 18.968636°
E  6.668701°		 ← 1 155.30 m → S 18.968636°
E  6.679688°		 →
↑
1 155.25 m
↓
↑
1 155.25 m
↓
S 18.979026°
E  6.668701°		 ← 1 155.23 m →
1 334 623 m²		 S 18.979026°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518539428710938 y=0.553695678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518539428710938 × 215)
    floor (0.518539428710938 × 32768)
    floor (16991.5)     		tx = 16991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553695678710938 × 215)
    floor (0.553695678710938 × 32768)
    floor (18143.5)     		ty = 18143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16991 / 18143 ti = "15/16991/18143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16991/18143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16991 ÷ 215
    16991 ÷ 32768     		x = 0.518524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18143 ÷ 215
    18143 ÷ 32768     		y = 0.553680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518524169921875 × 2 - 1) × π
    0.03704833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11639079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.10736083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.337284025726715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11639079} λ = 0.11639079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337284025726715))-π/2
    2×atan(0.713706100218664)-π/2
    2×0.619865582253764-π/2
    1.23973116450753-1.57079632675     		φ = -0.33106516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11639079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.668701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33106516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.968636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16991 KachelY 18143 0.11639079 -0.33106516 6.668701 -18.968636
    Oben rechts KachelX + 1 16992 KachelY 18143 0.11658254 -0.33106516 6.679688 -18.968636
    Unten links KachelX 16991 KachelY + 1 18144 0.11639079 -0.33124649 6.668701 -18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 16992 KachelY + 1 18144 0.11658254 -0.33124649 6.679688 -18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33106516--0.33124649) × R
    0.00018132999999998 × 6371000     		dl = 1155.25342999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33106516--0.33124649) × R
    0.00018132999999998 × 6371000     		dr = 1155.25342999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11639079-0.11658254) × cos(-0.33106516) × R
    0.000191750000000004 × 0.945696649247924 × 6371000     		do = 1155.30014531477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11639079-0.11658254) × cos(-0.33124649) × R
    0.000191750000000004 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 1155.22812117843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33106516)-sin(-0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945696649247924-0.945637692287967)×R²
    abs(0.11658254-0.11639079)×5.89569599566131e-05×R²
    0.000191750000000004×5.89569599566131e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.89569599566131e-05×40589641000000     		ar = 1334622.85614604m²