Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16991 / 14935
↖ ↑ ↗
← N 79.894075°
W133.332825°		 ← 53.58 m → N 79.894075°
W133.330078°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.893594°
W133.332825°		 ← 53.58 m →
2 871 m²		 N 79.893594°
W133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129634857177734 y=0.113948822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129634857177734 × 217)
    floor (0.129634857177734 × 131072)
    floor (16991.5)     		tx = 16991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113948822021484 × 217)
    floor (0.113948822021484 × 131072)
    floor (14935.5)     		ty = 14935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16991 / 14935 ti = "17/16991/14935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16991/14935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16991 ÷ 217
    16991 ÷ 131072     		x = 0.129631042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14935 ÷ 217
    14935 ÷ 131072     		y = 0.113945007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129631042480469 × 2 - 1) × π
    -0.740737915039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.32709679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113945007324219 × 2 - 1) × π
    0.772109985351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.42565505767446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32709679} λ = -2.32709679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42565505767446))-π/2
    2×atan(11.3096354568252)-π/2
    2×1.48260549890749-π/2
    2.96521099781497-1.57079632675     		φ = 1.39441467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32709679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.332825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39441467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.894075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16991 KachelY 14935 -2.32709679 1.39441467 -133.332825 79.894075
    Oben rechts KachelX + 1 16992 KachelY 14935 -2.32704886 1.39441467 -133.330078 79.894075
    Unten links KachelX 16991 KachelY + 1 14936 -2.32709679 1.39440626 -133.332825 79.893594
    Unten rechts KachelX + 1 16992 KachelY + 1 14936 -2.32704886 1.39440626 -133.330078 79.893594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39441467-1.39440626) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dl = 53.5801099997371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39441467-1.39440626) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dr = 53.5801099997371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32709679--2.32704886) × cos(1.39441467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175468525090254 × 6371000     		do = 53.5814250226986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32709679--2.32704886) × cos(1.39440626) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175476804603246 × 6371000     		du = 53.5839532715934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39441467)-sin(1.39440626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175468525090254-0.175476804603246)×R²
    abs(-2.32704886--2.32709679)×8.27951299259277e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.27951299259277e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.27951299259277e-06×40589641000000     		ar = 2870.96637854484m²