Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16990 / 11994
↖ ↑ ↗
← N 43.373112°
E  6.657715°		 ← 888.01 m → N 43.373112°
E  6.668701°		 →
↑
888.05 m
↓
↑
888.05 m
↓
N 43.365125°
E  6.657715°		 ← 888.12 m →
788 649 m²		 N 43.365125°
E  6.668701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518508911132812 y=0.366043090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518508911132812 × 215)
    floor (0.518508911132812 × 32768)
    floor (16990.5)     		tx = 16990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366043090820312 × 215)
    floor (0.366043090820312 × 32768)
    floor (11994.5)     		ty = 11994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16990 / 11994 ti = "15/16990/11994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16990/11994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16990 ÷ 215
    16990 ÷ 32768     		x = 0.51849365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11994 ÷ 215
    11994 ÷ 32768     		y = 0.36602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51849365234375 × 2 - 1) × π
    0.0369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11619904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36602783203125 × 2 - 1) × π
    0.2679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.841771957328186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11619904} λ = 0.11619904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841771957328186))-π/2
    2×atan(2.3204751188717)-π/2
    2×1.16389997061097-π/2
    2.32779994122194-1.57079632675     		φ = 0.75700361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11619904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.657715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75700361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.373112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16990 KachelY 11994 0.11619904 0.75700361 6.657715 43.373112
    Oben rechts KachelX + 1 16991 KachelY 11994 0.11639079 0.75700361 6.668701 43.373112
    Unten links KachelX 16990 KachelY + 1 11995 0.11619904 0.75686422 6.657715 43.365125
    Unten rechts KachelX + 1 16991 KachelY + 1 11995 0.11639079 0.75686422 6.668701 43.365125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75700361-0.75686422) × R
    0.000139390000000073 × 6371000     		dl = 888.053690000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75700361-0.75686422) × R
    0.000139390000000073 × 6371000     		dr = 888.053690000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11619904-0.11639079) × cos(0.75700361) × R
    0.000191749999999991 × 0.72689703106649 × 6371000     		do = 888.00594385925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11619904-0.11639079) × cos(0.75686422) × R
    0.000191749999999991 × 0.72699274959419 × 6371000     		du = 888.12287736964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75700361)-sin(0.75686422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72689703106649-0.72699274959419)×R²
    abs(0.11639079-0.11619904)×9.57185276995176e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57185276995176e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57185276995176e-05×40589641000000     		ar = 788648.878081333m²