Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16988 / 18142
↖ ↑ ↗
← S 18.958246°
E  6.635742°		 ← 1 155.37 m → S 18.958246°
E  6.646729°		 →
↑
1 155.32 m
↓
↑
1 155.32 m
↓
S 18.968636°
E  6.635742°		 ← 1 155.30 m →
1 334 780 m²		 S 18.968636°
E  6.646729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518447875976562 y=0.553665161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518447875976562 × 215)
    floor (0.518447875976562 × 32768)
    floor (16988.5)     		tx = 16988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553665161132812 × 215)
    floor (0.553665161132812 × 32768)
    floor (18142.5)     		ty = 18142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16988 / 18142 ti = "15/16988/18142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16988/18142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16988 ÷ 215
    16988 ÷ 32768     		x = 0.5184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18142 ÷ 215
    18142 ÷ 32768     		y = 0.55364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    0.036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11581555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.1072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.337092278128235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11581555} λ = 0.11581555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337092278128235))-π/2
    2×atan(0.713842964770707)-π/2
    2×0.619956252609494-π/2
    1.23991250521899-1.57079632675     		φ = -0.33088382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11581555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33088382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.958246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16988 KachelY 18142 0.11581555 -0.33088382 6.635742 -18.958246
    Oben rechts KachelX + 1 16989 KachelY 18142 0.11600730 -0.33088382 6.646729 -18.958246
    Unten links KachelX 16988 KachelY + 1 18143 0.11581555 -0.33106516 6.635742 -18.968636
    Unten rechts KachelX + 1 16989 KachelY + 1 18143 0.11600730 -0.33106516 6.646729 -18.968636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33088382--0.33106516) × R
    0.00018134000000003 × 6371000     		dl = 1155.31714000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33088382--0.33106516) × R
    0.00018134000000003 × 6371000     		dr = 1155.31714000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11581555-0.11600730) × cos(-0.33088382) × R
    0.000191749999999991 × 0.945755578361627 × 6371000     		do = 1155.37213543296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11581555-0.11600730) × cos(-0.33106516) × R
    0.000191749999999991 × 0.945696649247924 × 6371000     		du = 1155.30014531469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33088382)-sin(-0.33106516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945755578361627-0.945696649247924)×R²
    abs(0.11600730-0.11581555)×5.89291137031989e-05×R²
    0.000191749999999991×5.89291137031989e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.89291137031989e-05×40589641000000     		ar = 1334779.64909316m²