Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16988 / 11820
↖ ↑ ↗
← N 44.746733°
E  6.635742°		 ← 867.64 m → N 44.746733°
E  6.646729°		 →
↑
867.67 m
↓
↑
867.67 m
↓
N 44.738930°
E  6.635742°		 ← 867.76 m →
752 872 m²		 N 44.738930°
E  6.646729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518447875976562 y=0.360733032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518447875976562 × 215)
    floor (0.518447875976562 × 32768)
    floor (16988.5)     		tx = 16988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360733032226562 × 215)
    floor (0.360733032226562 × 32768)
    floor (11820.5)     		ty = 11820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16988 / 11820 ti = "15/16988/11820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16988/11820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16988 ÷ 215
    16988 ÷ 32768     		x = 0.5184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11820 ÷ 215
    11820 ÷ 32768     		y = 0.3607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    0.036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11581555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3607177734375 × 2 - 1) × π
    0.278564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.875136039463745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11581555} λ = 0.11581555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875136039463745))-π/2
    2×atan(2.39920165787436)-π/2
    2×1.17588707566551-π/2
    2.35177415133103-1.57079632675     		φ = 0.78097782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11581555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78097782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.746733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16988 KachelY 11820 0.11581555 0.78097782 6.635742 44.746733
    Oben rechts KachelX + 1 16989 KachelY 11820 0.11600730 0.78097782 6.646729 44.746733
    Unten links KachelX 16988 KachelY + 1 11821 0.11581555 0.78084163 6.635742 44.738930
    Unten rechts KachelX + 1 16989 KachelY + 1 11821 0.11600730 0.78084163 6.646729 44.738930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78097782-0.78084163) × R
    0.000136190000000092 × 6371000     		dl = 867.666490000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78097782-0.78084163) × R
    0.000136190000000092 × 6371000     		dr = 867.666490000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11581555-0.11600730) × cos(0.78097782) × R
    0.000191749999999991 × 0.710225517576633 × 6371000     		do = 867.639368623137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11581555-0.11600730) × cos(0.78084163) × R
    0.000191749999999991 × 0.710321385239965 × 6371000     		du = 867.756484323469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78097782)-sin(0.78084163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710225517576633-0.710321385239965)×R²
    abs(0.11600730-0.11581555)×9.58676633322497e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58676633322497e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58676633322497e-05×40589641000000     		ar = 752872.415407418m²