Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16986 / 14922
↖ ↑ ↗
← N 79.900339°
W133.346558°		 ← 53.56 m → N 79.900339°
W133.343811°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.899857°
W133.346558°		 ← 53.56 m →
2 870 m²		 N 79.899857°
W133.343811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129596710205078 y=0.113849639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129596710205078 × 217)
    floor (0.129596710205078 × 131072)
    floor (16986.5)     		tx = 16986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113849639892578 × 217)
    floor (0.113849639892578 × 131072)
    floor (14922.5)     		ty = 14922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16986 / 14922 ti = "17/16986/14922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16986/14922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16986 ÷ 217
    16986 ÷ 131072     		x = 0.129592895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14922 ÷ 217
    14922 ÷ 131072     		y = 0.113845825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129592895507812 × 2 - 1) × π
    -0.740814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32733648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113845825195312 × 2 - 1) × π
    0.772308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42627823736952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32733648} λ = -2.32733648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42627823736952))-π/2
    2×atan(11.3166855885218)-π/2
    2×1.48266015634986-π/2
    2.96532031269971-1.57079632675     		φ = 1.39452399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32733648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.346558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39452399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.900339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16986 KachelY 14922 -2.32733648 1.39452399 -133.346558 79.900339
    Oben rechts KachelX + 1 16987 KachelY 14922 -2.32728854 1.39452399 -133.343811 79.900339
    Unten links KachelX 16986 KachelY + 1 14923 -2.32733648 1.39451558 -133.346558 79.899857
    Unten rechts KachelX + 1 16987 KachelY + 1 14923 -2.32728854 1.39451558 -133.343811 79.899857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39452399-1.39451558) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dl = 53.5801099997371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39452399-1.39451558) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dr = 53.5801099997371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32733648--2.32728854) × cos(1.39452399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175360900137244 × 6371000     		do = 53.5597326914488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32733648--2.32728854) × cos(1.39451558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175369179811514 × 6371000     		du = 53.5622615170895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39452399)-sin(1.39451558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175360900137244-0.175369179811514)×R²
    abs(-2.32728854--2.32733648)×8.279674269418e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.279674269418e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.279674269418e-06×40589641000000     		ar = 2869.80411646171m²