Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16985 / 49604
↖ ↑ ↗
← N 40.036026°
W133.349304°		 ← 233.80 m → N 40.036026°
W133.346558°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
N 40.033924°
W133.349304°		 ← 233.80 m →
54 666 m²		 N 40.033924°
W133.346558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129589080810547 y=0.378452301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129589080810547 × 217)
    floor (0.129589080810547 × 131072)
    floor (16985.5)     		tx = 16985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378452301025391 × 217)
    floor (0.378452301025391 × 131072)
    floor (49604.5)     		ty = 49604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16985 / 49604 ti = "17/16985/49604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16985/49604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16985 ÷ 217
    16985 ÷ 131072     		x = 0.129585266113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49604 ÷ 217
    49604 ÷ 131072     		y = 0.378448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129585266113281 × 2 - 1) × π
    -0.740829467773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.32738441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378448486328125 × 2 - 1) × π
    0.24310302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.763730684746735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32738441} λ = -2.32738441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763730684746735))-π/2
    2×atan(2.14626835377224)-π/2
    2×1.1347784045696-π/2
    2.2695568091392-1.57079632675     		φ = 0.69876048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32738441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.349304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69876048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.036026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16985 KachelY 49604 -2.32738441 0.69876048 -133.349304 40.036026
    Oben rechts KachelX + 1 16986 KachelY 49604 -2.32733648 0.69876048 -133.346558 40.036026
    Unten links KachelX 16985 KachelY + 1 49605 -2.32738441 0.69872378 -133.349304 40.033924
    Unten rechts KachelX + 1 16986 KachelY + 1 49605 -2.32733648 0.69872378 -133.346558 40.033924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69876048-0.69872378) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dl = 233.815700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69876048-0.69872378) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dr = 233.815700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32738441--2.32733648) × cos(0.69876048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765640120232245 × 6371000     		do = 233.797421363706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32738441--2.32733648) × cos(0.69872378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765663727694626 × 6371000     		du = 233.804630186341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69876048)-sin(0.69872378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765640120232245-0.765663727694626)×R²
    abs(-2.32733648--2.32738441)×2.3607462381392e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3607462381392e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3607462381392e-05×40589641000000     		ar = 54666.3505083181m²