Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16984 / 17307
↖ ↑ ↗
← S 10.087854°
E  6.591797°		 ← 1 202.75 m → S 10.087854°
E  6.602783°		 →
↑
1 202.72 m
↓
↑
1 202.72 m
↓
S 10.098670°
E  6.591797°		 ← 1 202.71 m →
1 446 548 m²		 S 10.098670°
E  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518325805664062 y=0.528182983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518325805664062 × 215)
    floor (0.518325805664062 × 32768)
    floor (16984.5)     		tx = 16984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528182983398438 × 215)
    floor (0.528182983398438 × 32768)
    floor (17307.5)     		ty = 17307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16984 / 17307 ti = "15/16984/17307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16984/17307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16984 ÷ 215
    16984 ÷ 32768     		x = 0.518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17307 ÷ 215
    17307 ÷ 32768     		y = 0.528167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518310546875 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.05633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.176983033397247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11504856} λ = 0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176983033397247))-π/2
    2×atan(0.837793998920377)-π/2
    2×0.697365031597948-π/2
    1.3947300631959-1.57079632675     		φ = -0.17606626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17606626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.087854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16984 KachelY 17307 0.11504856 -0.17606626 6.591797 -10.087854
    Oben rechts KachelX + 1 16985 KachelY 17307 0.11524031 -0.17606626 6.602783 -10.087854
    Unten links KachelX 16984 KachelY + 1 17308 0.11504856 -0.17625504 6.591797 -10.098670
    Unten rechts KachelX + 1 16985 KachelY + 1 17308 0.11524031 -0.17625504 6.602783 -10.098670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17606626--0.17625504) × R
    0.00018878 × 6371000     		dl = 1202.71738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17606626--0.17625504) × R
    0.00018878 × 6371000     		dr = 1202.71738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11504856-0.11524031) × cos(-0.17606626) × R
    0.000191750000000004 × 0.984540334624457 × 6371000     		do = 1202.7531159854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11504856-0.11524031) × cos(-0.17625504) × R
    0.000191750000000004 × 0.984507250751501 × 6371000     		du = 1202.71269942765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17606626)-sin(-0.17625504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984540334624457-0.984507250751501)×R²
    abs(0.11524031-0.11504856)×3.30838729559746e-05×R²
    0.000191750000000004×3.30838729559746e-05×6371000²
    0.000191750000000004×3.30838729559746e-05×40589641000000     		ar = 1446547.77589265m²