Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16984 / 11824
↖ ↑ ↗
← N 44.715514°
E  6.591797°		 ← 868.11 m → N 44.715514°
E  6.602783°		 →
↑
868.18 m
↓
↑
868.18 m
↓
N 44.707706°
E  6.591797°		 ← 868.22 m →
753 721 m²		 N 44.707706°
E  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518325805664062 y=0.360855102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518325805664062 × 215)
    floor (0.518325805664062 × 32768)
    floor (16984.5)     		tx = 16984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360855102539062 × 215)
    floor (0.360855102539062 × 32768)
    floor (11824.5)     		ty = 11824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16984 / 11824 ti = "15/16984/11824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16984/11824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16984 ÷ 215
    16984 ÷ 32768     		x = 0.518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11824 ÷ 215
    11824 ÷ 32768     		y = 0.36083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518310546875 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36083984375 × 2 - 1) × π
    0.2783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.874369049069824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11504856} λ = 0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874369049069824))-π/2
    2×atan(2.3973621987636)-π/2
    2×1.17561463406082-π/2
    2.35122926812165-1.57079632675     		φ = 0.78043294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78043294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.715514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16984 KachelY 11824 0.11504856 0.78043294 6.591797 44.715514
    Oben rechts KachelX + 1 16985 KachelY 11824 0.11524031 0.78043294 6.602783 44.715514
    Unten links KachelX 16984 KachelY + 1 11825 0.11504856 0.78029667 6.591797 44.707706
    Unten rechts KachelX + 1 16985 KachelY + 1 11825 0.11524031 0.78029667 6.602783 44.707706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78043294-0.78029667) × R
    0.000136269999999938 × 6371000     		dl = 868.176169999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78043294-0.78029667) × R
    0.000136269999999938 × 6371000     		dr = 868.176169999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11504856-0.11524031) × cos(0.78043294) × R
    0.000191750000000004 × 0.710608993604276 × 6371000     		do = 868.107837990002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11504856-0.11524031) × cos(0.78029667) × R
    0.000191750000000004 × 0.710704864825196 × 6371000     		du = 868.224958036423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78043294)-sin(0.78029667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710608993604276-0.710704864825196)×R²
    abs(0.11524031-0.11504856)×9.58712209200296e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58712209200296e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58712209200296e-05×40589641000000     		ar = 753721.379516165m²