Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16983 / 49592
↖ ↑ ↗
← N 40.061257°
W133.354798°		 ← 233.76 m → N 40.061257°
W133.352051°		 →
↑
233.75 m
↓
↑
233.75 m
↓
N 40.059154°
W133.354798°		 ← 233.77 m →
54 643 m²		 N 40.059154°
W133.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129573822021484 y=0.378360748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129573822021484 × 217)
    floor (0.129573822021484 × 131072)
    floor (16983.5)     		tx = 16983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378360748291016 × 217)
    floor (0.378360748291016 × 131072)
    floor (49592.5)     		ty = 49592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16983 / 49592 ti = "17/16983/49592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16983/49592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16983 ÷ 217
    16983 ÷ 131072     		x = 0.129570007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49592 ÷ 217
    49592 ÷ 131072     		y = 0.37835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129570007324219 × 2 - 1) × π
    -0.740859985351562 × 3.1415926535     		Λ = -2.32748029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37835693359375 × 2 - 1) × π
    0.2432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.764305927542175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32748029} λ = -2.32748029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764305927542175))-π/2
    2×atan(2.14750333435261)-π/2
    2×1.13499857830497-π/2
    2.26999715660994-1.57079632675     		φ = 0.69920083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32748029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.354798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69920083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.061257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16983 KachelY 49592 -2.32748029 0.69920083 -133.354798 40.061257
    Oben rechts KachelX + 1 16984 KachelY 49592 -2.32743235 0.69920083 -133.352051 40.061257
    Unten links KachelX 16983 KachelY + 1 49593 -2.32748029 0.69916414 -133.354798 40.059154
    Unten rechts KachelX + 1 16984 KachelY + 1 49593 -2.32743235 0.69916414 -133.352051 40.059154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69920083-0.69916414) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dl = 233.751989999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69920083-0.69916414) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dr = 233.751989999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32748029--2.32743235) × cos(0.69920083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765356782436901 × 6371000     		do = 233.759661639656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32748029--2.32743235) × cos(0.69916414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765380395834793 × 6371000     		du = 233.766873779181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69920083)-sin(0.69916414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765356782436901-0.765380395834793)×R²
    abs(-2.32743235--2.32748029)×2.36133978926967e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36133978926967e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36133978926967e-05×40589641000000     		ar = 54642.6290220054m²