Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16983 / 11823
↖ ↑ ↗
← N 44.723320°
E  6.580810°		 ← 867.99 m → N 44.723320°
E  6.591797°		 →
↑
868.05 m
↓
↑
868.05 m
↓
N 44.715514°
E  6.580810°		 ← 868.11 m →
753 509 m²		 N 44.715514°
E  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518295288085938 y=0.360824584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518295288085938 × 215)
    floor (0.518295288085938 × 32768)
    floor (16983.5)     		tx = 16983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360824584960938 × 215)
    floor (0.360824584960938 × 32768)
    floor (11823.5)     		ty = 11823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16983 / 11823 ti = "15/16983/11823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16983/11823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16983 ÷ 215
    16983 ÷ 32768     		x = 0.518280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11823 ÷ 215
    11823 ÷ 32768     		y = 0.360809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518280029296875 × 2 - 1) × π
    0.03656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11485681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360809326171875 × 2 - 1) × π
    0.27838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.874560796668304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11485681} λ = 0.11485681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874560796668304))-π/2
    2×atan(2.3978219312828)-π/2
    2×1.17568275824905-π/2
    2.35136551649811-1.57079632675     		φ = 0.78056919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11485681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.580810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78056919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.723320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16983 KachelY 11823 0.11485681 0.78056919 6.580810 44.723320
    Oben rechts KachelX + 1 16984 KachelY 11823 0.11504856 0.78056919 6.591797 44.723320
    Unten links KachelX 16983 KachelY + 1 11824 0.11485681 0.78043294 6.580810 44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 16984 KachelY + 1 11824 0.11504856 0.78043294 6.591797 44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78056919-0.78043294) × R
    0.00013625000000006 × 6371000     		dl = 868.048750000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78056919-0.78043294) × R
    0.00013625000000006 × 6371000     		dr = 868.048750000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11485681-0.11504856) × cos(0.78056919) × R
    0.000191749999999991 × 0.710513123261372 × 6371000     		do = 867.990719016137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11485681-0.11504856) × cos(0.78043294) × R
    0.000191749999999991 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 868.107837989939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78056919)-sin(0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710513123261372-0.710608993604276)×R²
    abs(0.11504856-0.11485681)×9.58703429039254e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58703429039254e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58703429039254e-05×40589641000000     		ar = 753509.092308533m²