Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16981 / 17386
↖ ↑ ↗
← S 10.941192°
E  6.558838°		 ← 1 199.37 m → S 10.941192°
E  6.569824°		 →
↑
1 199.40 m
↓
↑
1 199.40 m
↓
S 10.951978°
E  6.558838°		 ← 1 199.33 m →
1 438 504 m²		 S 10.951978°
E  6.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518234252929688 y=0.530593872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518234252929688 × 215)
    floor (0.518234252929688 × 32768)
    floor (16981.5)     		tx = 16981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530593872070312 × 215)
    floor (0.530593872070312 × 32768)
    floor (17386.5)     		ty = 17386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16981 / 17386 ti = "15/16981/17386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16981/17386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16981 ÷ 215
    16981 ÷ 32768     		x = 0.518218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17386 ÷ 215
    17386 ÷ 32768     		y = 0.53057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518218994140625 × 2 - 1) × π
    0.03643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11447332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0611572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.192131093677185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11447332} λ = 0.11447332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192131093677185))-π/2
    2×atan(0.825198683070853)-π/2
    2×0.689918252956144-π/2
    1.37983650591229-1.57079632675     		φ = -0.19095982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11447332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.558838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19095982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.941192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16981 KachelY 17386 0.11447332 -0.19095982 6.558838 -10.941192
    Oben rechts KachelX + 1 16982 KachelY 17386 0.11466506 -0.19095982 6.569824 -10.941192
    Unten links KachelX 16981 KachelY + 1 17387 0.11447332 -0.19114808 6.558838 -10.951978
    Unten rechts KachelX + 1 16982 KachelY + 1 17387 0.11466506 -0.19114808 6.569824 -10.951978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19095982--0.19114808) × R
    0.000188259999999996 × 6371000     		dl = 1199.40445999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19095982--0.19114808) × R
    0.000188259999999996 × 6371000     		dr = 1199.40445999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11447332-0.11466506) × cos(-0.19095982) × R
    0.000191739999999996 × 0.981822512262684 × 6371000     		do = 1199.37036560142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11447332-0.11466506) × cos(-0.19114808) × R
    0.000191739999999996 × 0.981786762860984 × 6371000     		du = 1199.32669500673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19095982)-sin(-0.19114808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981822512262684-0.981786762860984)×R²
    abs(0.11466506-0.11447332)×3.5749401700147e-05×R²
    0.000191739999999996×3.5749401700147e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.5749401700147e-05×40589641000000     		ar = 1438503.98058981m²