Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16981 / 17283
↖ ↑ ↗
← S  9.828154°
E  6.558838°		 ← 1 203.65 m → S  9.828154°
E  6.569824°		 →
↑
1 203.74 m
↓
↑
1 203.74 m
↓
S  9.838980°
E  6.558838°		 ← 1 203.61 m →
1 448 851 m²		 S  9.838980°
E  6.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518234252929688 y=0.527450561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518234252929688 × 215)
    floor (0.518234252929688 × 32768)
    floor (16981.5)     		tx = 16981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527450561523438 × 215)
    floor (0.527450561523438 × 32768)
    floor (17283.5)     		ty = 17283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16981 / 17283 ti = "15/16981/17283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16981/17283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16981 ÷ 215
    16981 ÷ 32768     		x = 0.518218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17283 ÷ 215
    17283 ÷ 32768     		y = 0.527435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518218994140625 × 2 - 1) × π
    0.03643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11447332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.05487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.172381091033722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11447332} λ = 0.11447332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172381091033722))-π/2
    2×atan(0.841658363587735)-π/2
    2×0.699631336052385-π/2
    1.39926267210477-1.57079632675     		φ = -0.17153365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11447332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.558838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17153365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.828154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16981 KachelY 17283 0.11447332 -0.17153365 6.558838 -9.828154
    Oben rechts KachelX + 1 16982 KachelY 17283 0.11466506 -0.17153365 6.569824 -9.828154
    Unten links KachelX 16981 KachelY + 1 17284 0.11447332 -0.17172259 6.558838 -9.838980
    Unten rechts KachelX + 1 16982 KachelY + 1 17284 0.11466506 -0.17172259 6.569824 -9.838980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17153365--0.17172259) × R
    0.000188939999999999 × 6371000     		dl = 1203.73673999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17153365--0.17172259) × R
    0.000188939999999999 × 6371000     		dr = 1203.73673999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11447332-0.11466506) × cos(-0.17153365) × R
    0.000191739999999996 × 0.985324141413602 × 6371000     		do = 1203.64787012233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11447332-0.11466506) × cos(-0.17172259) × R
    0.000191739999999996 × 0.985291872960495 × 6371000     		du = 1203.6084517693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17153365)-sin(-0.17172259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985324141413602-0.985291872960495)×R²
    abs(0.11466506-0.11447332)×3.22684531064432e-05×R²
    0.000191739999999996×3.22684531064432e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.22684531064432e-05×40589641000000     		ar = 1448851.44293925m²