Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16978 / 17110
↖ ↑ ↗
← S  7.950437°
E  6.525879°		 ← 1 209.90 m → S  7.950437°
E  6.536865°		 →
↑
1 209.85 m
↓
↑
1 209.85 m
↓
S  7.961317°
E  6.525879°		 ← 1 209.86 m →
1 463 778 m²		 S  7.961317°
E  6.536865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518142700195312 y=0.522171020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518142700195312 × 215)
    floor (0.518142700195312 × 32768)
    floor (16978.5)     		tx = 16978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522171020507812 × 215)
    floor (0.522171020507812 × 32768)
    floor (17110.5)     		ty = 17110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16978 / 17110 ti = "15/16978/17110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16978/17110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16978 ÷ 215
    16978 ÷ 32768     		x = 0.51812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17110 ÷ 215
    17110 ÷ 32768     		y = 0.52215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51812744140625 × 2 - 1) × π
    0.0362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11389807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.139208756496643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11389807} λ = 0.11389807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139208756496643))-π/2
    2×atan(0.870046381664384)-π/2
    2×0.716017513527869-π/2
    1.43203502705574-1.57079632675     		φ = -0.13876130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11389807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13876130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.950437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16978 KachelY 17110 0.11389807 -0.13876130 6.525879 -7.950437
    Oben rechts KachelX + 1 16979 KachelY 17110 0.11408982 -0.13876130 6.536865 -7.950437
    Unten links KachelX 16978 KachelY + 1 17111 0.11389807 -0.13895120 6.525879 -7.961317
    Unten rechts KachelX + 1 16979 KachelY + 1 17111 0.11408982 -0.13895120 6.536865 -7.961317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13876130--0.13895120) × R
    0.000189899999999993 × 6371000     		dl = 1209.85289999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13876130--0.13895120) × R
    0.000189899999999993 × 6371000     		dr = 1209.85289999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11389807-0.11408982) × cos(-0.13876130) × R
    0.000191749999999991 × 0.990388088541974 × 6371000     		do = 1209.89696169529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11389807-0.11408982) × cos(-0.13895120) × R
    0.000191749999999991 × 0.990361804394886 × 6371000     		du = 1209.86485194956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13876130)-sin(-0.13895120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990388088541974-0.990361804394886)×R²
    abs(0.11408982-0.11389807)×2.62841470879405e-05×R²
    0.000191749999999991×2.62841470879405e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.62841470879405e-05×40589641000000     		ar = 1463777.92817262m²