Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16978 / 11842
↖ ↑ ↗
← N 44.574818°
E  6.525879°		 ← 870.22 m → N 44.574818°
E  6.536865°		 →
↑
870.28 m
↓
↑
870.28 m
↓
N 44.566991°
E  6.525879°		 ← 870.33 m →
757 381 m²		 N 44.566991°
E  6.536865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518142700195312 y=0.361404418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518142700195312 × 215)
    floor (0.518142700195312 × 32768)
    floor (16978.5)     		tx = 16978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361404418945312 × 215)
    floor (0.361404418945312 × 32768)
    floor (11842.5)     		ty = 11842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16978 / 11842 ti = "15/16978/11842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16978/11842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16978 ÷ 215
    16978 ÷ 32768     		x = 0.51812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11842 ÷ 215
    11842 ÷ 32768     		y = 0.36138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51812744140625 × 2 - 1) × π
    0.0362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11389807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36138916015625 × 2 - 1) × π
    0.2772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.87091759229718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11389807} λ = 0.11389807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87091759229718))-π/2
    2×atan(2.38910206970533)-π/2
    2×1.17438682698197-π/2
    2.34877365396394-1.57079632675     		φ = 0.77797733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11389807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77797733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.574818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16978 KachelY 11842 0.11389807 0.77797733 6.525879 44.574818
    Oben rechts KachelX + 1 16979 KachelY 11842 0.11408982 0.77797733 6.536865 44.574818
    Unten links KachelX 16978 KachelY + 1 11843 0.11389807 0.77784073 6.525879 44.566991
    Unten rechts KachelX + 1 16979 KachelY + 1 11843 0.11408982 0.77784073 6.536865 44.566991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77797733-0.77784073) × R
    0.000136600000000042 × 6371000     		dl = 870.278600000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77797733-0.77784073) × R
    0.000136600000000042 × 6371000     		dr = 870.278600000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11389807-0.11408982) × cos(0.77797733) × R
    0.000191749999999991 × 0.712334584983077 × 6371000     		do = 870.215888147744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11389807-0.11408982) × cos(0.77784073) × R
    0.000191749999999991 × 0.712430449686054 × 6371000     		du = 870.333000231591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77797733)-sin(0.77784073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712334584983077-0.712430449686054)×R²
    abs(0.11408982-0.11389807)×9.58647029771775e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58647029771775e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58647029771775e-05×40589641000000     		ar = 757381.226082639m²