Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16978 / 11818
↖ ↑ ↗
← N 44.762337°
E  6.525879°		 ← 867.41 m → N 44.762337°
E  6.536865°		 →
↑
867.48 m
↓
↑
867.48 m
↓
N 44.754536°
E  6.525879°		 ← 867.52 m →
752 503 m²		 N 44.754536°
E  6.536865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518142700195312 y=0.360671997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518142700195312 × 215)
    floor (0.518142700195312 × 32768)
    floor (16978.5)     		tx = 16978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360671997070312 × 215)
    floor (0.360671997070312 × 32768)
    floor (11818.5)     		ty = 11818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16978 / 11818 ti = "15/16978/11818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16978/11818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16978 ÷ 215
    16978 ÷ 32768     		x = 0.51812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11818 ÷ 215
    11818 ÷ 32768     		y = 0.36065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51812744140625 × 2 - 1) × π
    0.0362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11389807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36065673828125 × 2 - 1) × π
    0.2786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.875519534660706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11389807} λ = 0.11389807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875519534660706))-π/2
    2×atan(2.40012191663283)-π/2
    2×1.1760232413194-π/2
    2.35204648263879-1.57079632675     		φ = 0.78125016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11389807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78125016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.762337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16978 KachelY 11818 0.11389807 0.78125016 6.525879 44.762337
    Oben rechts KachelX + 1 16979 KachelY 11818 0.11408982 0.78125016 6.536865 44.762337
    Unten links KachelX 16978 KachelY + 1 11819 0.11389807 0.78111400 6.525879 44.754536
    Unten rechts KachelX + 1 16979 KachelY + 1 11819 0.11408982 0.78111400 6.536865 44.754536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78125016-0.78111400) × R
    0.000136160000000052 × 6371000     		dl = 867.47536000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78125016-0.78111400) × R
    0.000136160000000052 × 6371000     		dr = 867.47536000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11389807-0.11408982) × cos(0.78125016) × R
    0.000191749999999991 × 0.710033770899269 × 6371000     		do = 867.405123356012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11389807-0.11408982) × cos(0.78111400) × R
    0.000191749999999991 × 0.710129643780949 × 6371000     		du = 867.522245431283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78125016)-sin(0.78111400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710033770899269-0.710129643780949)×R²
    abs(0.11408982-0.11389807)×9.58728816801147e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58728816801147e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58728816801147e-05×40589641000000     		ar = 752503.37306881m²