Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16978 / 10802
↖ ↑ ↗
← N 76.119258°
W 86.737061°		 ← 146.53 m → N 76.119258°
W 86.731568°		 →
↑
146.53 m
↓
↑
146.53 m
↓
N 76.117940°
W 86.737061°		 ← 146.54 m →
21 472 m²		 N 76.117940°
W 86.731568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259071350097656 y=0.164833068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259071350097656 × 216)
    floor (0.259071350097656 × 65536)
    floor (16978.5)     		tx = 16978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164833068847656 × 216)
    floor (0.164833068847656 × 65536)
    floor (10802.5)     		ty = 10802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16978 / 10802 ti = "16/16978/10802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16978/10802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16978 ÷ 216
    16978 ÷ 65536     		x = 0.259063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10802 ÷ 216
    10802 ÷ 65536     		y = 0.164825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.48187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.51384729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164825439453125 × 2 - 1) × π
    0.67034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10596387410831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51384729} λ = -1.51384729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10596387410831))-π/2
    2×atan(8.21501743733421)-π/2
    2×1.44966399776697-π/2
    2.89932799553393-1.57079632675     		φ = 1.32853167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51384729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.737061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32853167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.119258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16978 KachelY 10802 -1.51384729 1.32853167 -86.737061 76.119258
    Oben rechts KachelX + 1 16979 KachelY 10802 -1.51375142 1.32853167 -86.731568 76.119258
    Unten links KachelX 16978 KachelY + 1 10803 -1.51384729 1.32850867 -86.737061 76.117940
    Unten rechts KachelX + 1 16979 KachelY + 1 10803 -1.51375142 1.32850867 -86.731568 76.117940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32853167-1.32850867) × R
    2.30000000001063e-05 × 6371000     		dl = 146.533000000677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32853167-1.32850867) × R
    2.30000000001063e-05 × 6371000     		dr = 146.533000000677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51384729--1.51375142) × cos(1.32853167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239901762142777 × 6371000     		do = 146.529062318254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51384729--1.51375142) × cos(1.32850867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239924090414222 × 6371000     		du = 146.542700153378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32853167)-sin(1.32850867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239901762142777-0.239924090414222)×R²
    abs(-1.51375142--1.51384729)×2.23282714451323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23282714451323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23282714451323e-05×40589641000000     		ar = 21472.3422864654m²