Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 16977 / 10641
↖ ↑ ↗
← N 76.329844°
W 86.742553°		 ← 144.35 m → N 76.329844°
W 86.737061°		 →
↑
144.37 m
↓
↑
144.37 m
↓
N 76.328546°
W 86.742553°		 ← 144.36 m →
20 840 m²		 N 76.328546°
W 86.737061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259056091308594 y=0.162376403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259056091308594 × 216)
    floor (0.259056091308594 × 65536)
    floor (16977.5)     		tx = 16977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162376403808594 × 216)
    floor (0.162376403808594 × 65536)
    floor (10641.5)     		ty = 10641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16977 / 10641 ti = "16/16977/10641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16977/10641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16977 ÷ 216
    16977 ÷ 65536     		x = 0.259048461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10641 ÷ 216
    10641 ÷ 65536     		y = 0.162368774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259048461914062 × 2 - 1) × π
    -0.481903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.51394316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162368774414062 × 2 - 1) × π
    0.675262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12139955578597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51394316} λ = -1.51394316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12139955578597))-π/2
    2×atan(8.3428055425045)-π/2
    2×1.45150171381117-π/2
    2.90300342762233-1.57079632675     		φ = 1.33220710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51394316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.742553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33220710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.329844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16977 KachelY 10641 -1.51394316 1.33220710 -86.742553 76.329844
    Oben rechts KachelX + 1 16978 KachelY 10641 -1.51384729 1.33220710 -86.737061 76.329844
    Unten links KachelX 16977 KachelY + 1 10642 -1.51394316 1.33218444 -86.742553 76.328546
    Unten rechts KachelX + 1 16978 KachelY + 1 10642 -1.51384729 1.33218444 -86.737061 76.328546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33220710-1.33218444) × R
    2.26599999999522e-05 × 6371000     		dl = 144.366859999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33220710-1.33218444) × R
    2.26599999999522e-05 × 6371000     		dr = 144.366859999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51394316--1.51384729) × cos(1.33220710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236332052746198 × 6371000     		do = 144.348727476369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51394316--1.51384729) × cos(1.33218444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236354070781031 × 6371000     		du = 144.362175822765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33220710)-sin(1.33218444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236332052746198-0.236354070781031)×R²
    abs(-1.51384729--1.51394316)×2.20180348330379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20180348330379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20180348330379e-05×40589641000000     		ar = 20840.1432793833m²