Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16976 / 11867
↖ ↑ ↗
← N 44.378840°
E  6.503906°		 ← 873.14 m → N 44.378840°
E  6.514893°		 →
↑
873.21 m
↓
↑
873.21 m
↓
N 44.370987°
E  6.503906°		 ← 873.26 m →
762 488 m²		 N 44.370987°
E  6.514893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518081665039062 y=0.362167358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518081665039062 × 215)
    floor (0.518081665039062 × 32768)
    floor (16976.5)     		tx = 16976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362167358398438 × 215)
    floor (0.362167358398438 × 32768)
    floor (11867.5)     		ty = 11867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16976 / 11867 ti = "15/16976/11867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16976/11867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16976 ÷ 215
    16976 ÷ 32768     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11867 ÷ 215
    11867 ÷ 32768     		y = 0.362152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362152099609375 × 2 - 1) × π
    0.27569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.866123902335175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866123902335175))-π/2
    2×atan(2.37767686142744)-π/2
    2×1.17267659939413-π/2
    2.34535319878827-1.57079632675     		φ = 0.77455687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77455687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.378840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16976 KachelY 11867 0.11351458 0.77455687 6.503906 44.378840
    Oben rechts KachelX + 1 16977 KachelY 11867 0.11370633 0.77455687 6.514893 44.378840
    Unten links KachelX 16976 KachelY + 1 11868 0.11351458 0.77441981 6.503906 44.370987
    Unten rechts KachelX + 1 16977 KachelY + 1 11868 0.11370633 0.77441981 6.514893 44.370987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77455687-0.77441981) × R
    0.000137059999999911 × 6371000     		dl = 873.209259999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77455687-0.77441981) × R
    0.000137059999999911 × 6371000     		dr = 873.209259999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11370633) × cos(0.77455687) × R
    0.000191749999999991 × 0.714731029086897 × 6371000     		do = 873.143478325402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11370633) × cos(0.77441981) × R
    0.000191749999999991 × 0.714826882058554 × 6371000     		du = 873.260576077807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77455687)-sin(0.77441981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714731029086897-0.714826882058554)×R²
    abs(0.11370633-0.11351458)×9.58529716568179e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58529716568179e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58529716568179e-05×40589641000000     		ar = 762488.097196331m²