Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16975 / 11868
↖ ↑ ↗
← N 44.370987°
E  6.492920°		 ← 873.26 m → N 44.370987°
E  6.503906°		 →
↑
873.27 m
↓
↑
873.27 m
↓
N 44.363133°
E  6.492920°		 ← 873.38 m →
762 646 m²		 N 44.363133°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518051147460938 y=0.362197875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518051147460938 × 215)
    floor (0.518051147460938 × 32768)
    floor (16975.5)     		tx = 16975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362197875976562 × 215)
    floor (0.362197875976562 × 32768)
    floor (11868.5)     		ty = 11868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16975 / 11868 ti = "15/16975/11868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16975/11868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16975 ÷ 215
    16975 ÷ 32768     		x = 0.518035888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11868 ÷ 215
    11868 ÷ 32768     		y = 0.3621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518035888671875 × 2 - 1) × π
    0.03607177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11332283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3621826171875 × 2 - 1) × π
    0.275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.865932154736694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11332283} λ = 0.11332283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865932154736694))-π/2
    2×atan(2.3772209913067)-π/2
    2×1.17260807082027-π/2
    2.34521614164054-1.57079632675     		φ = 0.77441981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11332283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.492920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77441981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.370987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16975 KachelY 11868 0.11332283 0.77441981 6.492920 44.370987
    Oben rechts KachelX + 1 16976 KachelY 11868 0.11351458 0.77441981 6.503906 44.370987
    Unten links KachelX 16975 KachelY + 1 11869 0.11332283 0.77428274 6.492920 44.363133
    Unten rechts KachelX + 1 16976 KachelY + 1 11869 0.11351458 0.77428274 6.503906 44.363133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77441981-0.77428274) × R
    0.000137070000000072 × 6371000     		dl = 873.272970000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77441981-0.77428274) × R
    0.000137070000000072 × 6371000     		dr = 873.272970000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11332283-0.11351458) × cos(0.77441981) × R
    0.000191750000000004 × 0.714826882058554 × 6371000     		do = 873.26057607787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11332283-0.11351458) × cos(0.77428274) × R
    0.000191750000000004 × 0.714922728593905 × 6371000     		du = 873.377665967432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77441981)-sin(0.77428274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714826882058554-0.714922728593905)×R²
    abs(0.11351458-0.11332283)×9.58465353516624e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58465353516624e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58465353516624e-05×40589641000000     		ar = 762645.983767318m²