Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16975 / 11861
↖ ↑ ↗
← N 44.425934°
E  6.492920°		 ← 872.44 m → N 44.425934°
E  6.503906°		 →
↑
872.51 m
↓
↑
872.51 m
↓
N 44.418088°
E  6.492920°		 ← 872.56 m →
761 263 m²		 N 44.418088°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518051147460938 y=0.361984252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518051147460938 × 215)
    floor (0.518051147460938 × 32768)
    floor (16975.5)     		tx = 16975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361984252929688 × 215)
    floor (0.361984252929688 × 32768)
    floor (11861.5)     		ty = 11861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16975 / 11861 ti = "15/16975/11861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16975/11861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16975 ÷ 215
    16975 ÷ 32768     		x = 0.518035888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11861 ÷ 215
    11861 ÷ 32768     		y = 0.361968994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518035888671875 × 2 - 1) × π
    0.03607177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11332283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361968994140625 × 2 - 1) × π
    0.27606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.867274387926056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11332283} λ = 0.11332283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.867274387926056))-π/2
    2×atan(2.38041391856679)-π/2
    2×1.17308757785332-π/2
    2.34617515570663-1.57079632675     		φ = 0.77537883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11332283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.492920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77537883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.425934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16975 KachelY 11861 0.11332283 0.77537883 6.492920 44.425934
    Oben rechts KachelX + 1 16976 KachelY 11861 0.11351458 0.77537883 6.503906 44.425934
    Unten links KachelX 16975 KachelY + 1 11862 0.11332283 0.77524188 6.492920 44.418088
    Unten rechts KachelX + 1 16976 KachelY + 1 11862 0.11351458 0.77524188 6.503906 44.418088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77537883-0.77524188) × R
    0.000136949999999914 × 6371000     		dl = 872.508449999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77537883-0.77524188) × R
    0.000136949999999914 × 6371000     		dr = 872.508449999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11332283-0.11351458) × cos(0.77537883) × R
    0.000191750000000004 × 0.714155909357393 × 6371000     		do = 872.440889490453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11332283-0.11351458) × cos(0.77524188) × R
    0.000191750000000004 × 0.714251765834342 × 6371000     		du = 872.557991525061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77537883)-sin(0.77524188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714155909357393-0.714251765834342)×R²
    abs(0.11351458-0.11332283)×9.58564769492076e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58564769492076e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58564769492076e-05×40589641000000     		ar = 761263.1356524m²