Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16975 / 11819
↖ ↑ ↗
← N 44.754536°
E  6.492920°		 ← 867.52 m → N 44.754536°
E  6.503906°		 →
↑
867.60 m
↓
↑
867.60 m
↓
N 44.746733°
E  6.492920°		 ← 867.64 m →
752 716 m²		 N 44.746733°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518051147460938 y=0.360702514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518051147460938 × 215)
    floor (0.518051147460938 × 32768)
    floor (16975.5)     		tx = 16975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360702514648438 × 215)
    floor (0.360702514648438 × 32768)
    floor (11819.5)     		ty = 11819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16975 / 11819 ti = "15/16975/11819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16975/11819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16975 ÷ 215
    16975 ÷ 32768     		x = 0.518035888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11819 ÷ 215
    11819 ÷ 32768     		y = 0.360687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518035888671875 × 2 - 1) × π
    0.03607177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11332283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360687255859375 × 2 - 1) × π
    0.27862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.875327787062225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11332283} λ = 0.11332283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875327787062225))-π/2
    2×atan(2.39966174313924)-π/2
    2×1.17595516308818-π/2
    2.35191032617636-1.57079632675     		φ = 0.78111400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11332283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.492920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78111400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.754536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16975 KachelY 11819 0.11332283 0.78111400 6.492920 44.754536
    Oben rechts KachelX + 1 16976 KachelY 11819 0.11351458 0.78111400 6.503906 44.754536
    Unten links KachelX 16975 KachelY + 1 11820 0.11332283 0.78097782 6.492920 44.746733
    Unten rechts KachelX + 1 16976 KachelY + 1 11820 0.11351458 0.78097782 6.503906 44.746733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78111400-0.78097782) × R
    0.00013617999999993 × 6371000     		dl = 867.602779999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78111400-0.78097782) × R
    0.00013617999999993 × 6371000     		dr = 867.602779999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11332283-0.11351458) × cos(0.78111400) × R
    0.000191750000000004 × 0.710129643780949 × 6371000     		do = 867.522245431345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11332283-0.11351458) × cos(0.78097782) × R
    0.000191750000000004 × 0.710225517576633 × 6371000     		du = 867.6393686232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78111400)-sin(0.78097782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710129643780949-0.710225517576633)×R²
    abs(0.11351458-0.11332283)×9.58737956839872e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58737956839872e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58737956839872e-05×40589641000000     		ar = 752715.521214395m²