Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16975 / 10831
↖ ↑ ↗
← N 76.080989°
W 86.753540°		 ← 146.93 m → N 76.080989°
W 86.748047°		 →
↑
146.92 m
↓
↑
146.92 m
↓
N 76.079668°
W 86.753540°		 ← 146.94 m →
21 587 m²		 N 76.079668°
W 86.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259025573730469 y=0.165275573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259025573730469 × 216)
    floor (0.259025573730469 × 65536)
    floor (16975.5)     		tx = 16975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165275573730469 × 216)
    floor (0.165275573730469 × 65536)
    floor (10831.5)     		ty = 10831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16975 / 10831 ti = "16/16975/10831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16975/10831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16975 ÷ 216
    16975 ÷ 65536     		x = 0.259017944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10831 ÷ 216
    10831 ÷ 65536     		y = 0.165267944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259017944335938 × 2 - 1) × π
    -0.481964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51413491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165267944335938 × 2 - 1) × π
    0.669464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10318353393034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51413491} λ = -1.51413491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10318353393034))-π/2
    2×atan(8.19220861712338)-π/2
    2×1.44933004304243-π/2
    2.89866008608485-1.57079632675     		φ = 1.32786376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51413491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.753540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32786376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.080989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16975 KachelY 10831 -1.51413491 1.32786376 -86.753540 76.080989
    Oben rechts KachelX + 1 16976 KachelY 10831 -1.51403904 1.32786376 -86.748047 76.080989
    Unten links KachelX 16975 KachelY + 1 10832 -1.51413491 1.32784070 -86.753540 76.079668
    Unten rechts KachelX + 1 16976 KachelY + 1 10832 -1.51403904 1.32784070 -86.748047 76.079668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32786376-1.32784070) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dl = 146.915259999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32786376-1.32784070) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dr = 146.915259999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51413491--1.51403904) × cos(1.32786376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240550113721583 × 6371000     		do = 146.925067533249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51413491--1.51403904) × cos(1.32784070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240572496540393 × 6371000     		du = 146.938738685236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32786376)-sin(1.32784070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240550113721583-0.240572496540393)×R²
    abs(-1.51403904--1.51413491)×2.23828188101183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23828188101183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23828188101183e-05×40589641000000     		ar = 21586.5387483275m²