Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16973 / 11821
↖ ↑ ↗
← N 44.738930°
E  6.470948°		 ← 867.71 m → N 44.738930°
E  6.481933°		 →
↑
867.79 m
↓
↑
867.79 m
↓
N 44.731126°
E  6.470948°		 ← 867.83 m →
753 045 m²		 N 44.731126°
E  6.481933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517990112304688 y=0.360763549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517990112304688 × 215)
    floor (0.517990112304688 × 32768)
    floor (16973.5)     		tx = 16973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360763549804688 × 215)
    floor (0.360763549804688 × 32768)
    floor (11821.5)     		ty = 11821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16973 / 11821 ti = "15/16973/11821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16973/11821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16973 ÷ 215
    16973 ÷ 32768     		x = 0.517974853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11821 ÷ 215
    11821 ÷ 32768     		y = 0.360748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517974853515625 × 2 - 1) × π
    0.03594970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11293934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360748291015625 × 2 - 1) × π
    0.27850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.874944291865265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11293934} λ = 0.11293934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874944291865265))-π/2
    2×atan(2.39874166082127)-π/2
    2×1.17581897905142-π/2
    2.35163795810285-1.57079632675     		φ = 0.78084163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11293934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.470948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78084163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.738930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16973 KachelY 11821 0.11293934 0.78084163 6.470948 44.738930
    Oben rechts KachelX + 1 16974 KachelY 11821 0.11313108 0.78084163 6.481933 44.738930
    Unten links KachelX 16973 KachelY + 1 11822 0.11293934 0.78070542 6.470948 44.731126
    Unten rechts KachelX + 1 16974 KachelY + 1 11822 0.11313108 0.78070542 6.481933 44.731126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78084163-0.78070542) × R
    0.00013620999999997 × 6371000     		dl = 867.793909999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78084163-0.78070542) × R
    0.00013620999999997 × 6371000     		dr = 867.793909999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11293934-0.11313108) × cos(0.78084163) × R
    0.000191739999999996 × 0.710321385239965 × 6371000     		do = 867.711229748039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11293934-0.11313108) × cos(0.78070542) × R
    0.000191739999999996 × 0.710417253804073 × 6371000     		du = 867.828340441008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78084163)-sin(0.78070542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710321385239965-0.710417253804073)×R²
    abs(0.11313108-0.11293934)×9.58685641077039e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58685641077039e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58685641077039e-05×40589641000000     		ar = 753045.335951673m²