Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16972 / 49587
↖ ↑ ↗
← N 40.071766°
W133.385010°		 ← 233.67 m → N 40.071766°
W133.382263°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
N 40.069665°
W133.385010°		 ← 233.68 m →
54 608 m²		 N 40.069665°
W133.382263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129489898681641 y=0.378322601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129489898681641 × 217)
    floor (0.129489898681641 × 131072)
    floor (16972.5)     		tx = 16972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378322601318359 × 217)
    floor (0.378322601318359 × 131072)
    floor (49587.5)     		ty = 49587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16972 / 49587 ti = "17/16972/49587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16972/49587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16972 ÷ 217
    16972 ÷ 131072     		x = 0.129486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49587 ÷ 217
    49587 ÷ 131072     		y = 0.378318786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.74102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32800759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378318786621094 × 2 - 1) × π
    0.243362426757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.764545612040276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32800759} λ = -2.32800759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764545612040276))-π/2
    2×atan(2.148018119302)-π/2
    2×1.13509029330833-π/2
    2.27018058661666-1.57079632675     		φ = 0.69938426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32800759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.385010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69938426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.071766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16972 KachelY 49587 -2.32800759 0.69938426 -133.385010 40.071766
    Oben rechts KachelX + 1 16973 KachelY 49587 -2.32795966 0.69938426 -133.382263 40.071766
    Unten links KachelX 16972 KachelY + 1 49588 -2.32800759 0.69934758 -133.385010 40.069665
    Unten rechts KachelX + 1 16973 KachelY + 1 49588 -2.32795966 0.69934758 -133.382263 40.069665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69938426-0.69934758) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dl = 233.688280000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69938426-0.69934758) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dr = 233.688280000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32800759--2.32795966) × cos(0.69938426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76523871286866 × 6371000     		do = 233.674846796304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32800759--2.32795966) × cos(0.69934758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765262324979936 × 6371000     		du = 233.682057038536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69938426)-sin(0.69934758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76523871286866-0.765262324979936)×R²
    abs(-2.32795966--2.32800759)×2.36121112762167e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36121112762167e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36121112762167e-05×40589641000000     		ar = 54607.9155078284m²