Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16972 / 15701
↖ ↑ ↗
← N 79.518160°
W133.385010°		 ← 55.55 m → N 79.518160°
W133.382263°		 →
↑
55.56 m
↓
↑
55.56 m
↓
N 79.517660°
W133.385010°		 ← 55.56 m →
3 086 m²		 N 79.517660°
W133.382263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129489898681641 y=0.119792938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129489898681641 × 217)
    floor (0.129489898681641 × 131072)
    floor (16972.5)     		tx = 16972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119792938232422 × 217)
    floor (0.119792938232422 × 131072)
    floor (15701.5)     		ty = 15701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16972 / 15701 ti = "17/16972/15701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16972/15701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16972 ÷ 217
    16972 ÷ 131072     		x = 0.129486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15701 ÷ 217
    15701 ÷ 131072     		y = 0.119789123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.74102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32800759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119789123535156 × 2 - 1) × π
    0.760421752929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.3889353925655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32800759} λ = -2.32800759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3889353925655))-π/2
    2×atan(10.9018815386766)-π/2
    2×1.47932501158982-π/2
    2.95865002317963-1.57079632675     		φ = 1.38785370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32800759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.385010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38785370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.518160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16972 KachelY 15701 -2.32800759 1.38785370 -133.385010 79.518160
    Oben rechts KachelX + 1 16973 KachelY 15701 -2.32795966 1.38785370 -133.382263 79.518160
    Unten links KachelX 16972 KachelY + 1 15702 -2.32800759 1.38784498 -133.385010 79.517660
    Unten rechts KachelX + 1 16973 KachelY + 1 15702 -2.32795966 1.38784498 -133.382263 79.517660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38785370-1.38784498) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dl = 55.5551200004658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38785370-1.38784498) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dr = 55.5551200004658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32800759--2.32795966) × cos(1.38785370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181923878947425 × 6371000     		do = 55.5526449808939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32800759--2.32795966) × cos(1.38784498) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181932453426526 × 6371000     		du = 55.5552633012386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38785370)-sin(1.38784498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181923878947425-0.181932453426526)×R²
    abs(-2.32795966--2.32800759)×8.57447910146414e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.57447910146414e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.57447910146414e-06×40589641000000     		ar = 3086.30658898647m²