Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16972 / 11825
↖ ↑ ↗
← N 44.707706°
E  6.459961°		 ← 868.22 m → N 44.707706°
E  6.470948°		 →
↑
868.24 m
↓
↑
868.24 m
↓
N 44.699898°
E  6.459961°		 ← 868.34 m →
753 878 m²		 N 44.699898°
E  6.470948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517959594726562 y=0.360885620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517959594726562 × 215)
    floor (0.517959594726562 × 32768)
    floor (16972.5)     		tx = 16972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360885620117188 × 215)
    floor (0.360885620117188 × 32768)
    floor (11825.5)     		ty = 11825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16972 / 11825 ti = "15/16972/11825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16972/11825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16972 ÷ 215
    16972 ÷ 32768     		x = 0.5179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11825 ÷ 215
    11825 ÷ 32768     		y = 0.360870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5179443359375 × 2 - 1) × π
    0.035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11274759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360870361328125 × 2 - 1) × π
    0.27825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.874177301471344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11274759} λ = 0.11274759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874177301471344))-π/2
    2×atan(2.39690255438856)-π/2
    2×1.17554650068126-π/2
    2.35109300136252-1.57079632675     		φ = 0.78029667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11274759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78029667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.707706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16972 KachelY 11825 0.11274759 0.78029667 6.459961 44.707706
    Oben rechts KachelX + 1 16973 KachelY 11825 0.11293934 0.78029667 6.470948 44.707706
    Unten links KachelX 16972 KachelY + 1 11826 0.11274759 0.78016039 6.459961 44.699898
    Unten rechts KachelX + 1 16973 KachelY + 1 11826 0.11293934 0.78016039 6.470948 44.699898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78029667-0.78016039) × R
    0.000136279999999989 × 6371000     		dl = 868.239879999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78029667-0.78016039) × R
    0.000136279999999989 × 6371000     		dr = 868.239879999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11274759-0.11293934) × cos(0.78029667) × R
    0.000191750000000004 × 0.710704864825196 × 6371000     		do = 868.224958036423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11274759-0.11293934) × cos(0.78016039) × R
    0.000191750000000004 × 0.710800729882607 × 6371000     		du = 868.342070553261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78029667)-sin(0.78016039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710704864825196-0.710800729882607)×R²
    abs(0.11293934-0.11274759)×9.58650574114372e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58650574114372e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58650574114372e-05×40589641000000     		ar = 753878.375424298m²