Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16972 / 11822
↖ ↑ ↗
← N 44.731126°
E  6.459961°		 ← 867.87 m → N 44.731126°
E  6.470948°		 →
↑
867.92 m
↓
↑
867.92 m
↓
N 44.723320°
E  6.459961°		 ← 867.99 m →
753 297 m²		 N 44.723320°
E  6.470948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517959594726562 y=0.360794067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517959594726562 × 215)
    floor (0.517959594726562 × 32768)
    floor (16972.5)     		tx = 16972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360794067382812 × 215)
    floor (0.360794067382812 × 32768)
    floor (11822.5)     		ty = 11822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16972 / 11822 ti = "15/16972/11822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16972/11822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16972 ÷ 215
    16972 ÷ 32768     		x = 0.5179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11822 ÷ 215
    11822 ÷ 32768     		y = 0.36077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5179443359375 × 2 - 1) × π
    0.035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11274759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36077880859375 × 2 - 1) × π
    0.2784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.874752544266785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11274759} λ = 0.11274759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874752544266785))-π/2
    2×atan(2.39828175196305)-π/2
    2×1.17575087324593-π/2
    2.35150174649186-1.57079632675     		φ = 0.78070542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11274759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78070542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.731126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16972 KachelY 11822 0.11274759 0.78070542 6.459961 44.731126
    Oben rechts KachelX + 1 16973 KachelY 11822 0.11293934 0.78070542 6.470948 44.731126
    Unten links KachelX 16972 KachelY + 1 11823 0.11274759 0.78056919 6.459961 44.723320
    Unten rechts KachelX + 1 16973 KachelY + 1 11823 0.11293934 0.78056919 6.470948 44.723320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78070542-0.78056919) × R
    0.000136229999999959 × 6371000     		dl = 867.921329999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78070542-0.78056919) × R
    0.000136229999999959 × 6371000     		dr = 867.921329999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11274759-0.11293934) × cos(0.78070542) × R
    0.000191750000000004 × 0.710417253804073 × 6371000     		do = 867.873601124287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11274759-0.11293934) × cos(0.78056919) × R
    0.000191750000000004 × 0.710513123261372 × 6371000     		du = 867.9907190162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78070542)-sin(0.78056919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710417253804073-0.710513123261372)×R²
    abs(0.11293934-0.11274759)×9.58694572988916e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58694572988916e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58694572988916e-05×40589641000000     		ar = 753296.835882617m²