Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16972 / 10940
↖ ↑ ↗
← N 75.936226°
W 86.770019°		 ← 148.42 m → N 75.936226°
W 86.764526°		 →
↑
148.44 m
↓
↑
148.44 m
↓
N 75.934891°
W 86.770019°		 ← 148.44 m →
22 033 m²		 N 75.934891°
W 86.764526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258979797363281 y=0.166938781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258979797363281 × 216)
    floor (0.258979797363281 × 65536)
    floor (16972.5)     		tx = 16972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166938781738281 × 216)
    floor (0.166938781738281 × 65536)
    floor (10940.5)     		ty = 10940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16972 / 10940 ti = "16/16972/10940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16972/10940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16972 ÷ 216
    16972 ÷ 65536     		x = 0.25897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10940 ÷ 216
    10940 ÷ 65536     		y = 0.16693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25897216796875 × 2 - 1) × π
    -0.4820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.51442253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16693115234375 × 2 - 1) × π
    0.6661376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09273328981317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51442253} λ = -1.51442253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09273328981317))-π/2
    2×atan(8.10704380878659)-π/2
    2×1.44806674443319-π/2
    2.89613348886639-1.57079632675     		φ = 1.32533716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51442253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.770019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32533716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.936226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16972 KachelY 10940 -1.51442253 1.32533716 -86.770019 75.936226
    Oben rechts KachelX + 1 16973 KachelY 10940 -1.51432666 1.32533716 -86.764526 75.936226
    Unten links KachelX 16972 KachelY + 1 10941 -1.51442253 1.32531386 -86.770019 75.934891
    Unten rechts KachelX + 1 16973 KachelY + 1 10941 -1.51432666 1.32531386 -86.764526 75.934891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32533716-1.32531386) × R
    2.32999999998373e-05 × 6371000     		dl = 148.444299998964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32533716-1.32531386) × R
    2.32999999998373e-05 × 6371000     		dr = 148.444299998964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51442253--1.51432666) × cos(1.32533716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243001754049459 × 6371000     		do = 148.422499461954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51442253--1.51432666) × cos(1.32531386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243024355585775 × 6371000     		du = 148.436304203919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32533716)-sin(1.32531386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243001754049459-0.243024355585775)×R²
    abs(-1.51432666--1.51442253)×2.2601536315503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2601536315503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2601536315503e-05×40589641000000     		ar = 22033.4986555797m²