Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16971 / 17191
↖ ↑ ↗
← S  8.830795°
E  6.448975°		 ← 1 207.16 m → S  8.830795°
E  6.459961°		 →
↑
1 207.11 m
↓
↑
1 207.11 m
↓
S  8.841651°
E  6.448975°		 ← 1 207.12 m →
1 457 155 m²		 S  8.841651°
E  6.459961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517929077148438 y=0.524642944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517929077148438 × 215)
    floor (0.517929077148438 × 32768)
    floor (16971.5)     		tx = 16971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524642944335938 × 215)
    floor (0.524642944335938 × 32768)
    floor (17191.5)     		ty = 17191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16971 / 17191 ti = "15/16971/17191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16971/17191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16971 ÷ 215
    16971 ÷ 32768     		x = 0.517913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17191 ÷ 215
    17191 ÷ 32768     		y = 0.524627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517913818359375 × 2 - 1) × π
    0.03582763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11255584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.04925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.154740311973541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11255584} λ = 0.11255584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154740311973541))-π/2
    2×atan(0.856637607130792)-π/2
    2×0.708334937631734-π/2
    1.41666987526347-1.57079632675     		φ = -0.15412645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11255584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.448975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15412645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.830795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16971 KachelY 17191 0.11255584 -0.15412645 6.448975 -8.830795
    Oben rechts KachelX + 1 16972 KachelY 17191 0.11274759 -0.15412645 6.459961 -8.830795
    Unten links KachelX 16971 KachelY + 1 17192 0.11255584 -0.15431592 6.448975 -8.841651
    Unten rechts KachelX + 1 16972 KachelY + 1 17192 0.11274759 -0.15431592 6.459961 -8.841651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15412645--0.15431592) × R
    0.000189469999999997 × 6371000     		dl = 1207.11336999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15412645--0.15431592) × R
    0.000189469999999997 × 6371000     		dr = 1207.11336999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11255584-0.11274759) × cos(-0.15412645) × R
    0.000191749999999991 × 0.988146012522185 × 6371000     		do = 1207.15795362803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11255584-0.11274759) × cos(-0.15431592) × R
    0.000191749999999991 × 0.988116907926707 × 6371000     		du = 1207.12239831184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15412645)-sin(-0.15431592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988146012522185-0.988116907926707)×R²
    abs(0.11274759-0.11255584)×2.91045954783353e-05×R²
    0.000191749999999991×2.91045954783353e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.91045954783353e-05×40589641000000     		ar = 1457155.0502367m²