Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16969 / 49611
↖ ↑ ↗
← N 40.021305°
W133.393249°		 ← 233.85 m → N 40.021305°
W133.390503°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
N 40.019201°
W133.393249°		 ← 233.86 m →
54 693 m²		 N 40.019201°
W133.390503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129467010498047 y=0.378505706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129467010498047 × 217)
    floor (0.129467010498047 × 131072)
    floor (16969.5)     		tx = 16969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378505706787109 × 217)
    floor (0.378505706787109 × 131072)
    floor (49611.5)     		ty = 49611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16969 / 49611 ti = "17/16969/49611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16969/49611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16969 ÷ 217
    16969 ÷ 131072     		x = 0.129463195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49611 ÷ 217
    49611 ÷ 131072     		y = 0.378501892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129463195800781 × 2 - 1) × π
    -0.741073608398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.32815140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378501892089844 × 2 - 1) × π
    0.242996215820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.763395126449394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32815140} λ = -2.32815140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763395126449394))-π/2
    2×atan(2.14554827643853)-π/2
    2×1.13464993225855-π/2
    2.26929986451711-1.57079632675     		φ = 0.69850354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32815140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.393249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69850354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.021305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16969 KachelY 49611 -2.32815140 0.69850354 -133.393249 40.021305
    Oben rechts KachelX + 1 16970 KachelY 49611 -2.32810347 0.69850354 -133.390503 40.021305
    Unten links KachelX 16969 KachelY + 1 49612 -2.32815140 0.69846683 -133.393249 40.019201
    Unten rechts KachelX + 1 16970 KachelY + 1 49612 -2.32810347 0.69846683 -133.390503 40.019201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69850354-0.69846683) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69850354-0.69846683) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32815140--2.32810347) × cos(0.69850354) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765805376534138 × 6371000     		do = 233.847884363522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32815140--2.32810347) × cos(0.69846683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765828983206317 × 6371000     		du = 233.85509294486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69850354)-sin(0.69846683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765805376534138-0.765828983206317)×R²
    abs(-2.32810347--2.32815140)×2.3606672178822e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3606672178822e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3606672178822e-05×40589641000000     		ar = 54693.0482002859m²