Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16969 / 49608
↖ ↑ ↗
← N 40.027614°
W133.393249°		 ← 233.83 m → N 40.027614°
W133.390503°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
N 40.025511°
W133.393249°		 ← 233.83 m →
54 673 m²		 N 40.025511°
W133.390503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129467010498047 y=0.378482818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129467010498047 × 217)
    floor (0.129467010498047 × 131072)
    floor (16969.5)     		tx = 16969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378482818603516 × 217)
    floor (0.378482818603516 × 131072)
    floor (49608.5)     		ty = 49608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16969 / 49608 ti = "17/16969/49608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16969/49608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16969 ÷ 217
    16969 ÷ 131072     		x = 0.129463195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49608 ÷ 217
    49608 ÷ 131072     		y = 0.37847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129463195800781 × 2 - 1) × π
    -0.741073608398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.32815140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37847900390625 × 2 - 1) × π
    0.2430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.763538937148254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32815140} λ = -2.32815140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763538937148254))-π/2
    2×atan(2.14585685142326)-π/2
    2×1.13470499521557-π/2
    2.26940999043115-1.57079632675     		φ = 0.69861366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32815140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.393249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69861366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.027614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16969 KachelY 49608 -2.32815140 0.69861366 -133.393249 40.027614
    Oben rechts KachelX + 1 16970 KachelY 49608 -2.32810347 0.69861366 -133.390503 40.027614
    Unten links KachelX 16969 KachelY + 1 49609 -2.32815140 0.69857696 -133.393249 40.025511
    Unten rechts KachelX + 1 16970 KachelY + 1 49609 -2.32810347 0.69857696 -133.390503 40.025511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69861366-0.69857696) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dl = 233.815700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69861366-0.69857696) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dr = 233.815700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32815140--2.32810347) × cos(0.69861366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765734556757189 × 6371000     		do = 233.826258692669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32815140--2.32810347) × cos(0.69857696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765758160093759 × 6371000     		du = 233.833466255438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69861366)-sin(0.69857696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765734556757189-0.765758160093759)×R²
    abs(-2.32810347--2.32815140)×2.36033365693666e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36033365693666e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36033365693666e-05×40589641000000     		ar = 54673.0929815919m²