Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16969 / 15703
↖ ↑ ↗
← N 79.517160°
W133.393249°		 ← 55.56 m → N 79.517160°
W133.390503°		 →
↑
55.56 m
↓
↑
55.56 m
↓
N 79.516660°
W133.393249°		 ← 55.56 m →
3 087 m²		 N 79.516660°
W133.390503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129467010498047 y=0.119808197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129467010498047 × 217)
    floor (0.129467010498047 × 131072)
    floor (16969.5)     		tx = 16969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119808197021484 × 217)
    floor (0.119808197021484 × 131072)
    floor (15703.5)     		ty = 15703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16969 / 15703 ti = "17/16969/15703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16969/15703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16969 ÷ 217
    16969 ÷ 131072     		x = 0.129463195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15703 ÷ 217
    15703 ÷ 131072     		y = 0.119804382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129463195800781 × 2 - 1) × π
    -0.741073608398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.32815140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119804382324219 × 2 - 1) × π
    0.760391235351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.38883951876626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32815140} λ = -2.32815140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38883951876626))-π/2
    2×atan(10.9008363839769)-π/2
    2×1.47931629031183-π/2
    2.95863258062367-1.57079632675     		φ = 1.38783625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32815140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.393249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38783625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.517160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16969 KachelY 15703 -2.32815140 1.38783625 -133.393249 79.517160
    Oben rechts KachelX + 1 16970 KachelY 15703 -2.32810347 1.38783625 -133.390503 79.517160
    Unten links KachelX 16969 KachelY + 1 15704 -2.32815140 1.38782753 -133.393249 79.516660
    Unten rechts KachelX + 1 16970 KachelY + 1 15704 -2.32810347 1.38782753 -133.390503 79.516660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38783625-1.38782753) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dl = 55.5551200004658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38783625-1.38782753) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dr = 55.5551200004658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32815140--2.32810347) × cos(1.38783625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181941037724888 × 6371000     		do = 55.5578846200124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32815140--2.32810347) × cos(1.38782753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181949612176305 × 6371000     		du = 55.5605029319033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38783625)-sin(1.38782753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181941037724888-0.181949612176305)×R²
    abs(-2.32810347--2.32815140)×8.57445141724811e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.57445141724811e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.57445141724811e-06×40589641000000     		ar = 3086.59767732573m²