Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16968 / 11241
↖ ↑ ↗
← N 49.088258°
E  6.416016°		 ← 800.05 m → N 49.088258°
E  6.427002°		 →
↑
800.07 m
↓
↑
800.07 m
↓
N 49.081062°
E  6.416016°		 ← 800.16 m →
640 140 m²		 N 49.081062°
E  6.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517837524414062 y=0.343063354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517837524414062 × 215)
    floor (0.517837524414062 × 32768)
    floor (16968.5)     		tx = 16968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343063354492188 × 215)
    floor (0.343063354492188 × 32768)
    floor (11241.5)     		ty = 11241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16968 / 11241 ti = "15/16968/11241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16968/11241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16968 ÷ 215
    16968 ÷ 32768     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11241 ÷ 215
    11241 ÷ 32768     		y = 0.343048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343048095703125 × 2 - 1) × π
    0.31390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.986157898983795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986157898983795))-π/2
    2×atan(2.68091431588531)-π/2
    2×1.21377402459381-π/2
    2.42754804918762-1.57079632675     		φ = 0.85675172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85675172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.088258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16968 KachelY 11241 0.11198060 0.85675172 6.416016 49.088258
    Oben rechts KachelX + 1 16969 KachelY 11241 0.11217235 0.85675172 6.427002 49.088258
    Unten links KachelX 16968 KachelY + 1 11242 0.11198060 0.85662614 6.416016 49.081062
    Unten rechts KachelX + 1 16969 KachelY + 1 11242 0.11217235 0.85662614 6.427002 49.081062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85675172-0.85662614) × R
    0.000125579999999959 × 6371000     		dl = 800.070179999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85675172-0.85662614) × R
    0.000125579999999959 × 6371000     		dr = 800.070179999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11217235) × cos(0.85675172) × R
    0.000191750000000004 × 0.654895706639058 × 6371000     		do = 800.046299886778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11217235) × cos(0.85662614) × R
    0.000191750000000004 × 0.654990604700638 × 6371000     		du = 800.162231083552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85675172)-sin(0.85662614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654895706639058-0.654990604700638)×R²
    abs(0.11217235-0.11198060)×9.48980615794737e-05×R²
    0.000191750000000004×9.48980615794737e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.48980615794737e-05×40589641000000     		ar = 640139.564546237m²