Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16968 / 11240
↖ ↑ ↗
← N 49.095452°
E  6.416016°		 ← 799.93 m → N 49.095452°
E  6.427002°		 →
↑
800.01 m
↓
↑
800.01 m
↓
N 49.088258°
E  6.416016°		 ← 800.05 m →
639 996 m²		 N 49.088258°
E  6.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517837524414062 y=0.343032836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517837524414062 × 215)
    floor (0.517837524414062 × 32768)
    floor (16968.5)     		tx = 16968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343032836914062 × 215)
    floor (0.343032836914062 × 32768)
    floor (11240.5)     		ty = 11240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16968 / 11240 ti = "15/16968/11240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16968/11240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16968 ÷ 215
    16968 ÷ 32768     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11240 ÷ 215
    11240 ÷ 32768     		y = 0.343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    0.31396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.986349646582275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986349646582275))-π/2
    2×atan(2.68142842405504)-π/2
    2×1.21383680738402-π/2
    2.42767361476804-1.57079632675     		φ = 0.85687729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85687729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.095452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16968 KachelY 11240 0.11198060 0.85687729 6.416016 49.095452
    Oben rechts KachelX + 1 16969 KachelY 11240 0.11217235 0.85687729 6.427002 49.095452
    Unten links KachelX 16968 KachelY + 1 11241 0.11198060 0.85675172 6.416016 49.088258
    Unten rechts KachelX + 1 16969 KachelY + 1 11241 0.11217235 0.85675172 6.427002 49.088258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85687729-0.85675172) × R
    0.000125570000000019 × 6371000     		dl = 800.006470000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85687729-0.85675172) × R
    0.000125570000000019 × 6371000     		dr = 800.006470000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11217235) × cos(0.85687729) × R
    0.000191750000000004 × 0.654800805807568 × 6371000     		do = 799.930365306172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11217235) × cos(0.85675172) × R
    0.000191750000000004 × 0.654895706639058 × 6371000     		du = 800.046299886778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85687729)-sin(0.85675172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654800805807568-0.654895706639058)×R²
    abs(0.11217235-0.11198060)×9.49008314899968e-05×R²
    0.000191750000000004×9.49008314899968e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.49008314899968e-05×40589641000000     		ar = 639995.842842995m²