Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16966 / 49606
↖ ↑ ↗
← N 40.031821°
W133.401489°		 ← 233.81 m → N 40.031821°
W133.398743°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
N 40.029718°
W133.401489°		 ← 233.82 m →
54 685 m²		 N 40.029718°
W133.398743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129444122314453 y=0.378467559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129444122314453 × 217)
    floor (0.129444122314453 × 131072)
    floor (16966.5)     		tx = 16966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378467559814453 × 217)
    floor (0.378467559814453 × 131072)
    floor (49606.5)     		ty = 49606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16966 / 49606 ti = "17/16966/49606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16966/49606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16966 ÷ 217
    16966 ÷ 131072     		x = 0.129440307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49606 ÷ 217
    49606 ÷ 131072     		y = 0.378463745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129440307617188 × 2 - 1) × π
    -0.741119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32829521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378463745117188 × 2 - 1) × π
    0.243072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.763634810947495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32829521} λ = -2.32829521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763634810947495))-π/2
    2×atan(2.14606259273468)-π/2
    2×1.13474170102432-π/2
    2.26948340204865-1.57079632675     		φ = 0.69868708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32829521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.401489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69868708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.031821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16966 KachelY 49606 -2.32829521 0.69868708 -133.401489 40.031821
    Oben rechts KachelX + 1 16967 KachelY 49606 -2.32824728 0.69868708 -133.398743 40.031821
    Unten links KachelX 16966 KachelY + 1 49607 -2.32829521 0.69865037 -133.401489 40.029718
    Unten rechts KachelX + 1 16967 KachelY + 1 49607 -2.32824728 0.69865037 -133.398743 40.029718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69868708-0.69865037) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69868708-0.69865037) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32829521--2.32824728) × cos(0.69868708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765687334125743 × 6371000     		do = 233.811838694068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32829521--2.32824728) × cos(0.69865037) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765710945957412 × 6371000     		du = 233.819048850919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69868708)-sin(0.69865037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765687334125743-0.765710945957412)×R²
    abs(-2.32824728--2.32829521)×2.36118316685463e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36118316685463e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36118316685463e-05×40589641000000     		ar = 54684.6180446429m²