Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16965 / 49642
↖ ↑ ↗
← N 39.956070°
W133.404236°		 ← 234.12 m → N 39.956070°
W133.401489°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
N 39.953965°
W133.404236°		 ← 234.13 m →
54 801 m²		 N 39.953965°
W133.401489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129436492919922 y=0.378742218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129436492919922 × 217)
    floor (0.129436492919922 × 131072)
    floor (16965.5)     		tx = 16965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378742218017578 × 217)
    floor (0.378742218017578 × 131072)
    floor (49642.5)     		ty = 49642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16965 / 49642 ti = "17/16965/49642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16965/49642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16965 ÷ 217
    16965 ÷ 131072     		x = 0.129432678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49642 ÷ 217
    49642 ÷ 131072     		y = 0.378738403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129432678222656 × 2 - 1) × π
    -0.741134643554688 × 3.1415926535     		Λ = -2.32834315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378738403320312 × 2 - 1) × π
    0.242523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.761909082561173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32834315} λ = -2.32834315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761909082561173))-π/2
    2×atan(2.14236226539787)-π/2
    2×1.13408065021142-π/2
    2.26816130042285-1.57079632675     		φ = 0.69736497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32834315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.404236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69736497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.956070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16965 KachelY 49642 -2.32834315 0.69736497 -133.404236 39.956070
    Oben rechts KachelX + 1 16966 KachelY 49642 -2.32829521 0.69736497 -133.401489 39.956070
    Unten links KachelX 16965 KachelY + 1 49643 -2.32834315 0.69732823 -133.404236 39.953965
    Unten rechts KachelX + 1 16966 KachelY + 1 49643 -2.32829521 0.69732823 -133.401489 39.953965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69736497-0.69732823) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dl = 234.07053999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69736497-0.69732823) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dr = 234.07053999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32834315--2.32829521) × cos(0.69736497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766537062957832 × 6371000     		do = 234.120149691169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32834315--2.32829521) × cos(0.69732823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766560656871086 × 6371000     		du = 234.127355879584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69736497)-sin(0.69732823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766537062957832-0.766560656871086)×R²
    abs(-2.32829521--2.32834315)×2.35939132544605e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35939132544605e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35939132544605e-05×40589641000000     		ar = 54801.4732474788m²