Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16965 / 49589
↖ ↑ ↗
← N 40.067563°
W133.404236°		 ← 233.74 m → N 40.067563°
W133.401489°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
N 40.065461°
W133.404236°		 ← 233.75 m →
54 623 m²		 N 40.065461°
W133.401489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129436492919922 y=0.378337860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129436492919922 × 217)
    floor (0.129436492919922 × 131072)
    floor (16965.5)     		tx = 16965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378337860107422 × 217)
    floor (0.378337860107422 × 131072)
    floor (49589.5)     		ty = 49589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16965 / 49589 ti = "17/16965/49589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16965/49589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16965 ÷ 217
    16965 ÷ 131072     		x = 0.129432678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49589 ÷ 217
    49589 ÷ 131072     		y = 0.378334045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129432678222656 × 2 - 1) × π
    -0.741134643554688 × 3.1415926535     		Λ = -2.32834315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378334045410156 × 2 - 1) × π
    0.243331909179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.764449738241035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32834315} λ = -2.32834315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764449738241035))-π/2
    2×atan(2.14781219051581)-π/2
    2×1.13505360900496-π/2
    2.27010721800991-1.57079632675     		φ = 0.69931089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32834315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.404236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69931089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.067563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16965 KachelY 49589 -2.32834315 0.69931089 -133.404236 40.067563
    Oben rechts KachelX + 1 16966 KachelY 49589 -2.32829521 0.69931089 -133.401489 40.067563
    Unten links KachelX 16965 KachelY + 1 49590 -2.32834315 0.69927421 -133.404236 40.065461
    Unten rechts KachelX + 1 16966 KachelY + 1 49590 -2.32829521 0.69927421 -133.401489 40.065461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69931089-0.69927421) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dl = 233.688280000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69931089-0.69927421) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dr = 233.688280000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32834315--2.32829521) × cos(0.69931089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765285942498516 × 6371000     		do = 233.738025299054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32834315--2.32829521) × cos(0.69927421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765309552550278 × 6371000     		du = 233.745236416584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69931089)-sin(0.69927421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765285942498516-0.765309552550278)×R²
    abs(-2.32829521--2.32834315)×2.36100517616578e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36100517616578e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36100517616578e-05×40589641000000     		ar = 54622.6796857311m²