Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16965 / 11255
↖ ↑ ↗
← N 48.987427°
E  6.383056°		 ← 801.67 m → N 48.987427°
E  6.394043°		 →
↑
801.73 m
↓
↑
801.73 m
↓
N 48.980217°
E  6.383056°		 ← 801.79 m →
642 767 m²		 N 48.980217°
E  6.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517745971679688 y=0.343490600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517745971679688 × 215)
    floor (0.517745971679688 × 32768)
    floor (16965.5)     		tx = 16965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343490600585938 × 215)
    floor (0.343490600585938 × 32768)
    floor (11255.5)     		ty = 11255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16965 / 11255 ti = "15/16965/11255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16965/11255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16965 ÷ 215
    16965 ÷ 32768     		x = 0.517730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11255 ÷ 215
    11255 ÷ 32768     		y = 0.343475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517730712890625 × 2 - 1) × π
    0.03546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11140535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343475341796875 × 2 - 1) × π
    0.31304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.983473432605072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11140535} λ = 0.11140535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983473432605072))-π/2
    2×atan(2.67372714271855)-π/2
    2×1.21289411005587-π/2
    2.42578822011174-1.57079632675     		φ = 0.85499189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11140535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.383056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85499189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.987427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16965 KachelY 11255 0.11140535 0.85499189 6.383056 48.987427
    Oben rechts KachelX + 1 16966 KachelY 11255 0.11159710 0.85499189 6.394043 48.987427
    Unten links KachelX 16965 KachelY + 1 11256 0.11140535 0.85486605 6.383056 48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 16966 KachelY + 1 11256 0.11159710 0.85486605 6.394043 48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85499189-0.85486605) × R
    0.000125839999999933 × 6371000     		dl = 801.726639999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85499189-0.85486605) × R
    0.000125839999999933 × 6371000     		dr = 801.726639999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11140535-0.11159710) × cos(0.85499189) × R
    0.000191750000000004 × 0.656224629287349 × 6371000     		do = 801.669763954144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11140535-0.11159710) × cos(0.85486605) × R
    0.000191750000000004 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 801.785757792488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85499189)-sin(0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656224629287349-0.65631957862558)×R²
    abs(0.11159710-0.11140535)×9.4949338230621e-05×R²
    0.000191750000000004×9.4949338230621e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.4949338230621e-05×40589641000000     		ar = 642766.504767575m²