Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16964 / 11828
↖ ↑ ↗
← N 44.684277°
E  6.372070°		 ← 868.53 m → N 44.684277°
E  6.383056°		 →
↑
868.62 m
↓
↑
868.62 m
↓
N 44.676465°
E  6.372070°		 ← 868.65 m →
754 476 m²		 N 44.676465°
E  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517715454101562 y=0.360977172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517715454101562 × 215)
    floor (0.517715454101562 × 32768)
    floor (16964.5)     		tx = 16964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360977172851562 × 215)
    floor (0.360977172851562 × 32768)
    floor (11828.5)     		ty = 11828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16964 / 11828 ti = "15/16964/11828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16964/11828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16964 ÷ 215
    16964 ÷ 32768     		x = 0.5177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11828 ÷ 215
    11828 ÷ 32768     		y = 0.3609619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5177001953125 × 2 - 1) × π
    0.035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11121361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3609619140625 × 2 - 1) × π
    0.278076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.873602058675903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11121361} λ = 0.11121361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873602058675903))-π/2
    2×atan(2.3955241499594)-π/2
    2×1.17534204539483-π/2
    2.35068409078967-1.57079632675     		φ = 0.77988776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11121361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77988776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.684277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16964 KachelY 11828 0.11121361 0.77988776 6.372070 44.684277
    Oben rechts KachelX + 1 16965 KachelY 11828 0.11140535 0.77988776 6.383056 44.684277
    Unten links KachelX 16964 KachelY + 1 11829 0.11121361 0.77975142 6.372070 44.676465
    Unten rechts KachelX + 1 16965 KachelY + 1 11829 0.11140535 0.77975142 6.383056 44.676465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77988776-0.77975142) × R
    0.000136340000000068 × 6371000     		dl = 868.622140000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77988776-0.77975142) × R
    0.000136340000000068 × 6371000     		dr = 868.622140000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11121361-0.11140535) × cos(0.77988776) × R
    0.000191739999999996 × 0.710992469616143 × 6371000     		do = 868.531010007255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11121361-0.11140535) × cos(0.77975142) × R
    0.000191739999999996 × 0.711088337244111 × 6371000     		du = 868.648119556658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77988776)-sin(0.77975142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710992469616143-0.711088337244111)×R²
    abs(0.11140535-0.11121361)×9.58676279682047e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58676279682047e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58676279682047e-05×40589641000000     		ar = 754476.127711553m²