Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16964 / 11250
↖ ↑ ↗
← N 49.023461°
E  6.372070°		 ← 801.05 m → N 49.023461°
E  6.383056°		 →
↑
801.09 m
↓
↑
801.09 m
↓
N 49.016257°
E  6.372070°		 ← 801.16 m →
641 758 m²		 N 49.016257°
E  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517715454101562 y=0.343338012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517715454101562 × 215)
    floor (0.517715454101562 × 32768)
    floor (16964.5)     		tx = 16964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343338012695312 × 215)
    floor (0.343338012695312 × 32768)
    floor (11250.5)     		ty = 11250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16964 / 11250 ti = "15/16964/11250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16964/11250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16964 ÷ 215
    16964 ÷ 32768     		x = 0.5177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11250 ÷ 215
    11250 ÷ 32768     		y = 0.34332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5177001953125 × 2 - 1) × π
    0.035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11121361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    0.3133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.984432170597473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11121361} λ = 0.11121361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984432170597473))-π/2
    2×atan(2.67629177572069)-π/2
    2×1.21320857001704-π/2
    2.42641714003409-1.57079632675     		φ = 0.85562081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11121361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85562081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.023461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16964 KachelY 11250 0.11121361 0.85562081 6.372070 49.023461
    Oben rechts KachelX + 1 16965 KachelY 11250 0.11140535 0.85562081 6.383056 49.023461
    Unten links KachelX 16964 KachelY + 1 11251 0.11121361 0.85549507 6.372070 49.016257
    Unten rechts KachelX + 1 16965 KachelY + 1 11251 0.11140535 0.85549507 6.383056 49.016257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85562081-0.85549507) × R
    0.000125739999999985 × 6371000     		dl = 801.089539999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85562081-0.85549507) × R
    0.000125739999999985 × 6371000     		dr = 801.089539999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11121361-0.11140535) × cos(0.85562081) × R
    0.000191739999999996 × 0.655749938143483 × 6371000     		do = 801.048084792574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11121361-0.11140535) × cos(0.85549507) × R
    0.000191739999999996 × 0.655844863912901 × 6371000     		du = 801.164043790611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85562081)-sin(0.85549507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655749938143483-0.655844863912901)×R²
    abs(0.11140535-0.11121361)×9.49257694179417e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49257694179417e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49257694179417e-05×40589641000000     		ar = 641757.689379593m²