Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16962 / 49602
↖ ↑ ↗
← N 40.040232°
W133.412475°		 ← 233.78 m → N 40.040232°
W133.409729°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
N 40.038129°
W133.412475°		 ← 233.79 m →
54 663 m²		 N 40.038129°
W133.409729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129413604736328 y=0.378437042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129413604736328 × 217)
    floor (0.129413604736328 × 131072)
    floor (16962.5)     		tx = 16962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378437042236328 × 217)
    floor (0.378437042236328 × 131072)
    floor (49602.5)     		ty = 49602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16962 / 49602 ti = "17/16962/49602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16962/49602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16962 ÷ 217
    16962 ÷ 131072     		x = 0.129409790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49602 ÷ 217
    49602 ÷ 131072     		y = 0.378433227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129409790039062 × 2 - 1) × π
    -0.741180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32848696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378433227539062 × 2 - 1) × π
    0.243133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.763826558545975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32848696} λ = -2.32848696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763826558545975))-π/2
    2×atan(2.14647413453784)-π/2
    2×1.13481510585134-π/2
    2.26963021170268-1.57079632675     		φ = 0.69883388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32848696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.412475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69883388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.040232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16962 KachelY 49602 -2.32848696 0.69883388 -133.412475 40.040232
    Oben rechts KachelX + 1 16963 KachelY 49602 -2.32843903 0.69883388 -133.409729 40.040232
    Unten links KachelX 16962 KachelY + 1 49603 -2.32848696 0.69879718 -133.412475 40.038129
    Unten rechts KachelX + 1 16963 KachelY + 1 49603 -2.32843903 0.69879718 -133.409729 40.038129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69883388-0.69879718) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dl = 233.815700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69883388-0.69879718) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dr = 233.815700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32848696--2.32843903) × cos(0.69883388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765592902213815 × 6371000     		do = 233.783002773745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32848696--2.32843903) × cos(0.69879718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765616511738631 × 6371000     		du = 233.79021222617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69883388)-sin(0.69879718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765592902213815-0.765616511738631)×R²
    abs(-2.32843903--2.32848696)×2.36095248157264e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36095248157264e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36095248157264e-05×40589641000000     		ar = 54662.9792895004m²