Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16962 / 11839
↖ ↑ ↗
← N 44.598291°
E  6.350098°		 ← 869.86 m → N 44.598291°
E  6.361084°		 →
↑
869.90 m
↓
↑
869.90 m
↓
N 44.590467°
E  6.350098°		 ← 869.98 m →
756 743 m²		 N 44.590467°
E  6.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517654418945312 y=0.361312866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517654418945312 × 215)
    floor (0.517654418945312 × 32768)
    floor (16962.5)     		tx = 16962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361312866210938 × 215)
    floor (0.361312866210938 × 32768)
    floor (11839.5)     		ty = 11839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16962 / 11839 ti = "15/16962/11839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16962/11839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16962 ÷ 215
    16962 ÷ 32768     		x = 0.51763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11839 ÷ 215
    11839 ÷ 32768     		y = 0.361297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51763916015625 × 2 - 1) × π
    0.0352783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11083011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361297607421875 × 2 - 1) × π
    0.27740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.871492835092621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11083011} λ = 0.11083011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871492835092621))-π/2
    2×atan(2.39047677881634)-π/2
    2×1.17459166829287-π/2
    2.34918333658574-1.57079632675     		φ = 0.77838701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11083011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77838701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.598291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16962 KachelY 11839 0.11083011 0.77838701 6.350098 44.598291
    Oben rechts KachelX + 1 16963 KachelY 11839 0.11102186 0.77838701 6.361084 44.598291
    Unten links KachelX 16962 KachelY + 1 11840 0.11083011 0.77825047 6.350098 44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 16963 KachelY + 1 11840 0.11102186 0.77825047 6.361084 44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77838701-0.77825047) × R
    0.000136539999999963 × 6371000     		dl = 869.896339999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77838701-0.77825047) × R
    0.000136539999999963 × 6371000     		dr = 869.896339999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11083011-0.11102186) × cos(0.77838701) × R
    0.000191750000000004 × 0.712046995386024 × 6371000     		do = 869.864557408156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11083011-0.11102186) × cos(0.77825047) × R
    0.000191750000000004 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 869.981666726744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77838701)-sin(0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712046995386024-0.712142857825438)×R²
    abs(0.11102186-0.11083011)×9.58624394133967e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58624394133967e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58624394133967e-05×40589641000000     		ar = 756742.932444218m²