Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16961 / 11201
↖ ↑ ↗
← N 49.375220°
E  6.339111°		 ← 795.41 m → N 49.375220°
E  6.350098°		 →
↑
795.48 m
↓
↑
795.48 m
↓
N 49.368066°
E  6.339111°		 ← 795.53 m →
632 783 m²		 N 49.368066°
E  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517623901367188 y=0.341842651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517623901367188 × 215)
    floor (0.517623901367188 × 32768)
    floor (16961.5)     		tx = 16961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341842651367188 × 215)
    floor (0.341842651367188 × 32768)
    floor (11201.5)     		ty = 11201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16961 / 11201 ti = "15/16961/11201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16961/11201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16961 ÷ 215
    16961 ÷ 32768     		x = 0.517608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11201 ÷ 215
    11201 ÷ 32768     		y = 0.341827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517608642578125 × 2 - 1) × π
    0.03521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11063836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341827392578125 × 2 - 1) × π
    0.31634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.993827802923004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11063836} λ = 0.11063836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993827802923004))-π/2
    2×atan(2.70155572879449)-π/2
    2×1.21627824304714-π/2
    2.43255648609428-1.57079632675     		φ = 0.86176016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11063836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.339111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86176016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.375220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16961 KachelY 11201 0.11063836 0.86176016 6.339111 49.375220
    Oben rechts KachelX + 1 16962 KachelY 11201 0.11083011 0.86176016 6.350098 49.375220
    Unten links KachelX 16961 KachelY + 1 11202 0.11063836 0.86163530 6.339111 49.368066
    Unten rechts KachelX + 1 16962 KachelY + 1 11202 0.11083011 0.86163530 6.350098 49.368066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86176016-0.86163530) × R
    0.000124860000000004 × 6371000     		dl = 795.483060000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86176016-0.86163530) × R
    0.000124860000000004 × 6371000     		dr = 795.483060000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11063836-0.11083011) × cos(0.86176016) × R
    0.000191749999999991 × 0.651102534008707 × 6371000     		do = 795.412411319458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11063836-0.11083011) × cos(0.86163530) × R
    0.000191749999999991 × 0.651197296397375 × 6371000     		du = 795.528176772878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86176016)-sin(0.86163530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651102534008707-0.651197296397375)×R²
    abs(0.11083011-0.11063836)×9.47623886681237e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47623886681237e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47623886681237e-05×40589641000000     		ar = 632783.144469256m²