Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16960 / 11264
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
E  6.328125°		 ← 802.67 m → N 48.922499°
E  6.339111°		 →
↑
802.75 m
↓
↑
802.75 m
↓
N 48.915280°
E  6.328125°		 ← 802.79 m →
644 388 m²		 N 48.915280°
E  6.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517593383789062 y=0.343765258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517593383789062 × 215)
    floor (0.517593383789062 × 32768)
    floor (16960.5)     		tx = 16960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343765258789062 × 215)
    floor (0.343765258789062 × 32768)
    floor (11264.5)     		ty = 11264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16960 / 11264 ti = "15/16960/11264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16960/11264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16960 ÷ 215
    16960 ÷ 32768     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11264 ÷ 215
    11264 ÷ 32768     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16960 KachelY 11264 0.11044662 0.85385869 6.328125 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 16961 KachelY 11264 0.11063836 0.85385869 6.339111 48.922499
    Unten links KachelX 16960 KachelY + 1 11265 0.11044662 0.85373269 6.328125 48.915280
    Unten rechts KachelX + 1 16961 KachelY + 1 11265 0.11063836 0.85373269 6.339111 48.915280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.85373269) × R
    0.000126000000000071 × 6371000     		dl = 802.746000000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.85373269) × R
    0.000126000000000071 × 6371000     		dr = 802.746000000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11063836) × cos(0.85385869) × R
    0.00019174000000001 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 802.671978112453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11063836) × cos(0.85373269) × R
    0.00019174000000001 × 0.65717425778267 × 6371000     		du = 802.787998825005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.85373269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.65717425778267)×R²
    abs(0.11063836-0.11044662)×9.49762898422302e-05×R²
    0.00019174000000001×9.49762898422302e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.49762898422302e-05×40589641000000     		ar = 644388.288176405m²