Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 1696 / 2018
↖ ↑ ↗
← N 79.294479°
W142.734375°		 ← 453.87 m → N 79.294479°
W142.712402°		 →
↑
453.93 m
↓
↑
453.93 m
↓
N 79.290397°
W142.734375°		 ← 454.04 m →
206 064 m²		 N 79.290397°
W142.712402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103546142578125 y=0.123199462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103546142578125 × 214)
    floor (0.103546142578125 × 16384)
    floor (1696.5)     		tx = 1696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123199462890625 × 214)
    floor (0.123199462890625 × 16384)
    floor (2018.5)     		ty = 2018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1696 / 2018 ti = "14/1696/2018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1696/2018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1696 ÷ 214
    1696 ÷ 16384     		x = 0.103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2018 ÷ 214
    2018 ÷ 16384     		y = 0.1231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103515625 × 2 - 1) × π
    -0.79296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.49118480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1231689453125 × 2 - 1) × π
    0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49118480} λ = -2.49118480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36769934603381))-π/2
    2×atan(10.6728095751213)-π/2
    2×1.47737303511575-π/2
    2.9547460702315-1.57079632675     		φ = 1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49118480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1696 KachelY 2018 -2.49118480 1.38394974 -142.734375 79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 1697 KachelY 2018 -2.49080130 1.38394974 -142.712402 79.294479
    Unten links KachelX 1696 KachelY + 1 2019 -2.49118480 1.38387849 -142.734375 79.290397
    Unten rechts KachelX + 1 1697 KachelY + 1 2019 -2.49080130 1.38387849 -142.712402 79.290397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38394974-1.38387849) × R
    7.12499999999672e-05 × 6371000     		dl = 453.933749999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38394974-1.38387849) × R
    7.12499999999672e-05 × 6371000     		dr = 453.933749999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49118480--2.49080130) × cos(1.38394974) × R
    0.00038349999999987 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 453.866580597905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49118480--2.49080130) × cos(1.38387849) × R
    0.00038349999999987 × 0.185831305394351 × 6371000     		du = 454.037633096799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38394974)-sin(1.38387849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.185831305394351)×R²
    abs(-2.49080130--2.49118480)×7.00094151749597e-05×R²
    0.00038349999999987×7.00094151749597e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.00094151749597e-05×40589641000000     		ar = 206064.182268182m²