Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16959 / 49605
↖ ↑ ↗
← N 40.033924°
W133.420715°		 ← 233.80 m → N 40.033924°
W133.417969°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
N 40.031821°
W133.420715°		 ← 233.81 m →
54 668 m²		 N 40.031821°
W133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129390716552734 y=0.378459930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129390716552734 × 217)
    floor (0.129390716552734 × 131072)
    floor (16959.5)     		tx = 16959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378459930419922 × 217)
    floor (0.378459930419922 × 131072)
    floor (49605.5)     		ty = 49605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16959 / 49605 ti = "17/16959/49605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16959/49605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16959 ÷ 217
    16959 ÷ 131072     		x = 0.129386901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49605 ÷ 217
    49605 ÷ 131072     		y = 0.378456115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129386901855469 × 2 - 1) × π
    -0.741226196289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.32863077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378456115722656 × 2 - 1) × π
    0.243087768554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.763682747847115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32863077} λ = -2.32863077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763682747847115))-π/2
    2×atan(2.14616547078757)-π/2
    2×1.1347600530799-π/2
    2.2695201061598-1.57079632675     		φ = 0.69872378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32863077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.420715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69872378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.033924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16959 KachelY 49605 -2.32863077 0.69872378 -133.420715 40.033924
    Oben rechts KachelX + 1 16960 KachelY 49605 -2.32858284 0.69872378 -133.417969 40.033924
    Unten links KachelX 16959 KachelY + 1 49606 -2.32863077 0.69868708 -133.420715 40.031821
    Unten rechts KachelX + 1 16960 KachelY + 1 49606 -2.32858284 0.69868708 -133.417969 40.031821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69872378-0.69868708) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dl = 233.815700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69872378-0.69868708) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dr = 233.815700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32863077--2.32858284) × cos(0.69872378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765663727694626 × 6371000     		do = 233.804630186341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32863077--2.32858284) × cos(0.69868708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765687334125743 × 6371000     		du = 233.811838694068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69872378)-sin(0.69868708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765663727694626-0.765687334125743)×R²
    abs(-2.32858284--2.32863077)×2.36064311166517e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36064311166517e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36064311166517e-05×40589641000000     		ar = 54668.0360076803m²