Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16959 / 11258
↖ ↑ ↗
← N 48.965794°
E  6.317139°		 ← 802.02 m → N 48.965794°
E  6.328125°		 →
↑
802.05 m
↓
↑
802.05 m
↓
N 48.958581°
E  6.317139°		 ← 802.13 m →
643 301 m²		 N 48.958581°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517562866210938 y=0.343582153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517562866210938 × 215)
    floor (0.517562866210938 × 32768)
    floor (16959.5)     		tx = 16959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343582153320312 × 215)
    floor (0.343582153320312 × 32768)
    floor (11258.5)     		ty = 11258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16959 / 11258 ti = "15/16959/11258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16959/11258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16959 ÷ 215
    16959 ÷ 32768     		x = 0.517547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11258 ÷ 215
    11258 ÷ 32768     		y = 0.34356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517547607421875 × 2 - 1) × π
    0.03509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11025487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34356689453125 × 2 - 1) × π
    0.3128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.982898189809631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11025487} λ = 0.11025487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982898189809631))-π/2
    2×atan(2.67218954273179)-π/2
    2×1.21270532484704-π/2
    2.42541064969408-1.57079632675     		φ = 0.85461432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11025487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85461432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.965794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16959 KachelY 11258 0.11025487 0.85461432 6.317139 48.965794
    Oben rechts KachelX + 1 16960 KachelY 11258 0.11044662 0.85461432 6.328125 48.965794
    Unten links KachelX 16959 KachelY + 1 11259 0.11025487 0.85448843 6.317139 48.958581
    Unten rechts KachelX + 1 16960 KachelY + 1 11259 0.11044662 0.85448843 6.328125 48.958581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85461432-0.85448843) × R
    0.000125890000000073 × 6371000     		dl = 802.045190000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85461432-0.85448843) × R
    0.000125890000000073 × 6371000     		dr = 802.045190000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11025487-0.11044662) × cos(0.85461432) × R
    0.000191749999999991 × 0.656509483836576 × 6371000     		do = 802.017753451962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11025487-0.11044662) × cos(0.85448843) × R
    0.000191749999999991 × 0.656604439698071 × 6371000     		du = 802.133755259383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85461432)-sin(0.85448843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656509483836576-0.656604439698071)×R²
    abs(0.11044662-0.11025487)×9.49558614953272e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49558614953272e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49558614953272e-05×40589641000000     		ar = 643301.001646864m²