Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16959 / 11199
↖ ↑ ↗
← N 49.389525°
E  6.317139°		 ← 795.18 m → N 49.389525°
E  6.328125°		 →
↑
795.23 m
↓
↑
795.23 m
↓
N 49.382373°
E  6.317139°		 ← 795.30 m →
632 396 m²		 N 49.382373°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517562866210938 y=0.341781616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517562866210938 × 215)
    floor (0.517562866210938 × 32768)
    floor (16959.5)     		tx = 16959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341781616210938 × 215)
    floor (0.341781616210938 × 32768)
    floor (11199.5)     		ty = 11199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16959 / 11199 ti = "15/16959/11199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16959/11199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16959 ÷ 215
    16959 ÷ 32768     		x = 0.517547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11199 ÷ 215
    11199 ÷ 32768     		y = 0.341766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517547607421875 × 2 - 1) × π
    0.03509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11025487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341766357421875 × 2 - 1) × π
    0.31646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994211298119965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11025487} λ = 0.11025487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994211298119965))-π/2
    2×atan(2.70259196112316)-π/2
    2×1.21640307222538-π/2
    2.43280614445076-1.57079632675     		φ = 0.86200982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11025487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86200982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.389525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16959 KachelY 11199 0.11025487 0.86200982 6.317139 49.389525
    Oben rechts KachelX + 1 16960 KachelY 11199 0.11044662 0.86200982 6.328125 49.389525
    Unten links KachelX 16959 KachelY + 1 11200 0.11025487 0.86188500 6.317139 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 16960 KachelY + 1 11200 0.11044662 0.86188500 6.328125 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86200982-0.86188500) × R
    0.000124820000000025 × 6371000     		dl = 795.228220000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86200982-0.86188500) × R
    0.000124820000000025 × 6371000     		dr = 795.228220000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11025487-0.11044662) × cos(0.86200982) × R
    0.000191749999999991 × 0.650913024329885 × 6371000     		do = 795.180898857553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11025487-0.11044662) × cos(0.86188500) × R
    0.000191749999999991 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 795.296652011762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86200982)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650913024329885-0.651007776650759)×R²
    abs(0.11044662-0.11025487)×9.47523208745249e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47523208745249e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47523208745249e-05×40589641000000     		ar = 632396.316684649m²