Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16957 / 14939
↖ ↑ ↗
← N 79.892147°
W133.426209°		 ← 53.60 m → N 79.892147°
W133.423462°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.891666°
W133.426209°		 ← 53.61 m →
2 872 m²		 N 79.891666°
W133.423462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129375457763672 y=0.113979339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129375457763672 × 217)
    floor (0.129375457763672 × 131072)
    floor (16957.5)     		tx = 16957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113979339599609 × 217)
    floor (0.113979339599609 × 131072)
    floor (14939.5)     		ty = 14939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16957 / 14939 ti = "17/16957/14939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16957/14939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16957 ÷ 217
    16957 ÷ 131072     		x = 0.129371643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14939 ÷ 217
    14939 ÷ 131072     		y = 0.113975524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129371643066406 × 2 - 1) × π
    -0.741256713867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.32872665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113975524902344 × 2 - 1) × π
    0.772048950195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.42546331007598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32872665} λ = -2.32872665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42546331007598))-π/2
    2×atan(11.3074670692849)-π/2
    2×1.48258867448549-π/2
    2.96517734897099-1.57079632675     		φ = 1.39438102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32872665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.426209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39438102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.892147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16957 KachelY 14939 -2.32872665 1.39438102 -133.426209 79.892147
    Oben rechts KachelX + 1 16958 KachelY 14939 -2.32867871 1.39438102 -133.423462 79.892147
    Unten links KachelX 16957 KachelY + 1 14940 -2.32872665 1.39437261 -133.426209 79.891666
    Unten rechts KachelX + 1 16958 KachelY + 1 14940 -2.32867871 1.39437261 -133.423462 79.891666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39438102-1.39437261) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dl = 53.5801099997371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39438102-1.39437261) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dr = 53.5801099997371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32872665--2.32867871) × cos(1.39438102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175501652912546 × 6371000     		do = 53.6027222120025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32872665--2.32867871) × cos(1.39437261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175509932375876 × 6371000     		du = 53.6052509732168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39438102)-sin(1.39437261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175501652912546-0.175509932375876)×R²
    abs(-2.32867871--2.32872665)×8.27946332976337e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.27946332976337e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.27946332976337e-06×40589641000000     		ar = 2872.10749807239m²